Название: Общая теория статистики - Елисеева И.И.

Жанр: Статистика

Рейтинг:

Просмотров: 1493


Если представить, что было проведено бесконечное число выборок равного объема из одной и той же генеральной совокупности, to показатели отдельных выборок образовали бы ряд возможных значений: выборочных средних величин х̅1, х̅2, ..., относительных величин р1, р2, р3 ..., дисперсий s21, s22, s23, … и т.д. Каждая Выборка имеет свою ошибку репрезентативности. Следовательно, можно построить ряды распределения выборок по величине ошибки репрезентативности для каждого показателя: для средней, относительной величины и т.д. В таких распределениях улавливается тенденция к концентрации ошибок около центрального значения. Число выборок с той или иной величиной ошибки репрезентативности может быть симметрично или асимметрично относительно этого центрального значения. При бесконечно боль-цюм числе выборок получится кривая частот, которая представляет кривую выборочного распределения. Свойства таких распределений используются для получения статистических заключений, установления вероятности той или иной величины ошибки репрезентативности.

Рассмотрим выборочное распределение средней величины. Такое распределение будет являться нормальным илу приближаться к нему flo мере увеличения объема выборки, независимо от того, имеет или |нет нормальное распределение та генеральная совокупность, из ^которой взятывыборки. С увеличением числа выбороксредняя для tcex выборок будет приближаться к генеральной средней. По выборочному распределению может быть рассчитана средняя квадра-тическая ошибка репрезентативности:

 

Среднее квадратическое отклонение выборочных средних от генеральной средней называется средней ошибкой выборочной средней:

Поскольку, как правило, генеральная средняя и неизвестна, этой формулой нельзя воспользоваться. Кроме того, в социально-экономических исследованиях из одной и той же совокупности выборки не проводятся многократно. Используют следующее соотношение:

квадрат средней ошибки (дисперсия выборочных средних) прямо пропорционален дисперсии признака х в генеральной совокупности о и обратно пропорционален объему выборки п:

   

Соответственно средняя ошибка выборочной средней равна:

   

Следовательно, средняя ошибка выборки тем больше, чем больше вариация в генеральной совокупности, и тем меньше, чем больше объем выборки.

Таким образом, можно утверждать, что отклонение выборочной средней х от генеральной средней ц в среднем равно ±s, . Ошибка конкретной выборки может принимать различные значения, но отношение ее к средней ошибке практически не превышает ±3, если величина п достаточно большая (и > 100). Отношение ошибки конкретной выборки к средней квадратической ошибке называется нормированным отклонением и обозначается как:

Распределение нормированного отклонения выборочной средней <уг генеральной средней при численности выборки п —> оо определяется уравнением Лапласа-Гаусса:

  

натами, соответствующими t1, и t2 ко всей площади кривой. Вся площадь под кривой нормального распределения вероятностей принимается за единицу.

Уравнение Лапласа - Гаусса предполагает непрерывное изменение t и неограниченное возрастание п. Поэтому площадь нормальной кривой, заключенную между ординатами t1 и t2, определяют, интегрируя функцию (7.7).

Имеются таблицы, которые содержат значения вероятностей для нормированных отклонений t или для интервалов от t1 до t2. Одна из таких таблиц приведена в приложении «Значение интеграла вероятностей». Эта таблица содержит пропорциональные доли площадей, заключенных между ординатами, соответствующими ± t. Зная нормированное отклонение t, можно определить вероятность или на основе определенной вероятности установить величину t.

На пересечении строк и граф таблицы находится значение вероятности F(t), соответствующее данному значению t. Для краткости записи в таблице приводятся только десятичные знаки вероятности, следовательно, к табличному значению F(t) надо приписывать ноль целых. Например, чтобы определить, какая вероятность соответствует t= 1,96, надо взять строку 1,9 и графу 6 и на их пересечении прочитать значение вероятности, добавив перед первым знаком ноль целых. Если t = 1,96, то F(f)= 0,9500. По мере увеличения t (уже при t = ±3) значение интеграла вероятностей приближается к единице. Чем шире пределы t, тем большая площадь под кривой охватывается ординатами, восстановленными из соответствующих значений t. Поскольку вероятность — это отношение части площади под кривой, заключенной между ординатами, ко всей площади, соответственно возрастает и вероятность.

Распределение ошибок выборочных средних имеет характер нормального распределения или приближается к нему даже в случаях, когда генеральная совокупность имеет иную форму распределения.

Из формулы (7.5) следует, что отклонение выборочной средней от генеральной средней равно:

Нормированное отклонение / может быть установлено по таблице «Значение интеграла вероятностей». Для этого необходимо принять определенный уровень вероятности суждения о точности данной выборки.


Оцените книгу: 1 2 3 4 5