Название: Общая теория статистики - Елисеева И.И.

Жанр: Статистика

Рейтинг:

Просмотров: 1498

  -для начала и конца интервала.

2. Вычисляется вероятность попадания единицы наблюдения в данный интервал при выполнении гипотезы о нормальном законе:

                             ,

где  |tj| > |tj+1|

3. Определяется теоретическая частота в данной группе, равная произведению объема совокупности на вероятность попадания в данный интервал:

4. Находится значение критерия c2 по формуле

                                                                                     (7.28)

где k — число категорий ряда распределения;

j - номер категории;

fj - частота эмпирического распределения;

f̂j - частота теоретического распределения.

При расчете c2 частоты можно заменить частостями:

                                                                              (7.29)

где  pj - частости эмпирического распределения;

pj - вероятности теоретического распределения.

При этом, согласно Ф. Йейтсу (Jates), группы с теоретическими частотами менее 5 принято объединять, что снижает влияние случайных ошибок(см. [6]).

Если все эмпирические частоты равны соответствующим теоретическим частотам, то c2 равно нулю. Очевидно, что чем больше отличаются эмпирические и теоретические частоты, тем c2 больше; если расхождение несущественно, то c2 должно быть малым. Имеются специальные таблицы критических значений c2  при 5%-ном и 1%-ном уровнях значимости. Критические значения зависят от числа степеней свободы (d.f. - degrees of freedom) и уровня значимости.

Число степеней свободы рассчитывается так: если эмпирический ряд распределения имеет k категорий, то k эмпирических частот f1, f2, …, fk  должны быть связаны следующим соотношением:  Если параметры теоретического распределения известны, то только k - 1 частот могут принимать произвольные значения, т. е. свободно варьировать, а последняя частота может быть найдена из указанного соотношения. Поэтому говорят, что система из k частот благодаря наличию одной связи теряет одну «степень свободы» и имеет только k — 1 степеней свободы. Кроме того, если при нахождении теоретических частот р параметров теоретического распределения неизвестны, то они должны быть найдены по данным эмпирического ряда. Это накладывает на эмпирические частоты еще р связей, благодаря чему система теряет еще р степеней свободы. Таким образом, число свободно варьируемых частот (а значит, и число степеней свободы) становится равным:

d.f. = (k - 1) - р = k - (р + 1).                                                (7.30)

Полученное значение критерия c2 сравнивается с табличным при числе степеней свободы, равном числу групп (с условием Ф. Йейтса), за минусом трех - по числу фиксированных параметров в формуле нормального закона распределения и с учетом равенства сумм теоретических и фактических частот (см. приложение, табл. 4).

В первой графе этой таблицы дано число степеней свободы, а в заголовках граф - уровни значимости. Если фактическое значение c2  превышает табличное при том же числе степеней свободы, то вероятность соответствия распределения нормальному закону меньше указанной. Результаты расчета c2  по данным табл. 5.6 (глава 5) приведены в табл. 7.5 при х = 30,3; s = 8,44.

Сумма теоретических частот нормального распределения меньше суммы фактических частот, так как нормальный закон не ограничен рамками фактических минимума и максимума.

Число групп после объединения малочисленных составило 7. Критическое значение c2  по табл. 4 приложения при 7-3 = 4 степеням свободы и значимости 0,05 составляет 9,49. Значит, вероятность расхождения распределения с нормальным меньше 0,05, и вероятность соответствия его нормальному закону больше 0,95. Табличное значение c2  для значимости 0,1 равно 7,78, что также больше фактического.

Таблица 7.5

Проверка соответствия распределения хозяйств по урожайности

зерновых культур нормальному закону