Название: Метрология - Сергеев А.Г.

Жанр: Маркетинг

Рейтинг:

Просмотров: 2178

В метрологической практике используют главным образом кван-тильные оценки доверительного интервала. Под 100P-процентным квантилем хр понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна Р%. Иначе говоря, квантиль — это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной вероятностью Р. Например, медиана распределения является 50%-ным квантилем х0,5.

На практике 25- и 75%-ный квантили принято называть сгибами, или квантилями распределения. Между ними заключено 50% всех возможных значений случайной величины, а остальные 50% лежат вне их. Интервал значений случайной величины х между х0 05 и х0 95 охватывает 90% всех ее возможных значений и называется интерквантильным промежутком с 90%-ной вероятностью. Его протяженность равна d0,9= х0,95 - х0,05.

На основании такого подхода вводится понятие квантильных значений погрешности, т.е. значений погрешности с заданной доверительной вероятностью Р — границ интервала неопределенности ± DД = ± (хр - х1-р)/2 = ± dp/2. На его протяженности встречается Р% значений случайной величины (погрешности), a q = (1- Р)% общего их числа остаются за пределами этого интервала.

Дляполучения интервальной оценки нормально распределенной случайной величины необходимо:

• определить точечную оценку МО х̅ и СКО Sx случайной величины по формулам (6.8) и (6.11) соответственно;

• выбрать доверительную вероятность Р из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99;

• найти верхнюю хв и нижнюю хн границы в соответствии с уравнениями

полученными с учетом (6.1). Значения хн и хв определяются из таблиц значений интегральной функции распределения F(t) или функции Лапласа Ф(1).

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

           (6.13)

где n — число измеренных значений; zp — аргумент функции Лапласа Ф(1), отвечающей вероятности Р/2. В данном случае zp называется квантильным множителем. Половина длины доверительного интервала  называется доверительной границей погрешности результата измерений.

Пример 6.1. Произведено 50 измерений постоянного сопротивления. Определить доверительный интервал для МО значения постоянного сопротивления, если закон распределения нормальный с параметрами mx = R = 590 Ом, Sx= 90 Ом при доверительной вероятности Р = 0,9.

Так как гипотеза о нормальности закона распределения не противоречит опытным данным, доверительный интервал определяется по формуле

Отсюда Ф(zр) = 0,45. Из таблицы, приведенной в приложении 1, находим, что zp= 1,65. Следовательно, доверительный интервал запишется в виде

  или 590 - 21 < R < 590 + 21. Окончательно 509 Ом < R < 611 Ом.

При отличии закона распределения случайной величины от нормального необходимо построить его математическую модель и определять доверительный интервал с ее использованием.

Рассмотренный способ нахождения доверительных интервалов справедлив для достаточно большого числа наблюдений n, когда s = Sx. Следует помнить, что вычисляемая оценка СКО Sx является лишь некоторым приближением к истинному значению s. Определение доверительного интервала при заданной вероятности оказывается тем менее надежным, чем меньше число наблюдений. Нельзя пользоваться формулами нормального распределения при малом числе наблюдений, если нет возможности теоретически на основе предварительных опытов с достаточно большим числом наблюдений определить СКО.

Расчет доверительных интервалов для случая, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна, т.е. при малом числе наблюдений п, возможно выполнить с использованием распределения Стьюдента S(t,k). Оно описывает плотность распределения отношения (дроби Стьюдента):

где Q — истинное значение измеряемой величины. Величины х̅, Sx. и Sx̅ вычисляются на основании опытных данных и представляют собой точечные оценки МО, СКО результатов измерений и СКО среднего арифметического значения.