Название: Курс физики - Трофимова Т.И.

Жанр: Физика

Рейтинг:

Просмотров: 15410


 где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d = const — коэффициент затухания, w0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d = 0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде

                                            (1462)

где  u = u(t).  После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим

                          (146.3)

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели чиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:

                                (146.4)

Подпись: (146.5)(если (w2 - d2) > 0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1) , решением которого является функция u = A0cjs(wt + j) (см. (140.1)). Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (d2 ≪ w20)

Подпись: где                                                                                                          (146.6)

 

 

 

                                     (146.6)

— амплитуда затухающих колебаний, а A0 — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени t = 1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

                                                Рис. 208

 

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и» строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы (146.4) равен

 

 Если А(T) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебании, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

 

 называется декрементом затухания, а его логарифм

                             (146.7)

 — логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

                                  (146.8)

(так как затухание мало  (d2 ≪ w20), то T принято равным Т0).

Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.

Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= - kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е.

 


Оцените книгу: 1 2 3 4 5