Название: Курс физики - Трофимова Т.И.

Жанр: Физика

Рейтинг:

Просмотров: 15816


Подпись: • Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент затухания?	
• В чем заключается физический смысл этих величин?	
• При каких условиях наблюдается апериодическое движение?
• Что такое автоколебания? В чем их отличие от вынужденных и свободных незатухающих колебаний? Где они применяются?

 

 

 

 

 

§ 147. Дифференциальное уравнение

вынужденных колебаний (механических

и электромагнитных) и его решение

 

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

 

 Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

                                          F=F0 cos wt.                                           (147.1)

 

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

mх̈ = - kx – rx + F0 cos wt.

 

Используя (142.2) и (146.10), придемк уравнению

                       (147.2)

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

                                            (147.3)

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению

                    (147.4)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

                             (147.5)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину

                                       (147.6)

 Частное решение этого уравнения будем искать в виде

 

Подставляя выражение для s и его производных (s = ihs0eiht , s̈ = - h2s0eiht ) в уравнение (147.6), получаем

                            (147.7)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h = w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на


Оцените книгу: 1 2 3 4 5