Название: Курс физики - Трофимова Т.И.

Жанр: Физика

Рейтинг:

Просмотров: 15849


 

 Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

 

Y(x) = Asin kx + Bcos kx.

 

Так как по (220.2) y(x) = 0, то B = 0. Тогда

                                        (220.5)

Условие (220.2) Y(l) = Asin kl  выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

                                              (220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

                (220.7)

 т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях , зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия En частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантованные значения энергии En называются уровнями энергии, а число л, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим

                  

а собственные функции будут иметь вид

                        (220.8)

 Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n =  1, 2, 3, приведены на рис. 297,а. На рис. 297,б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |Yn(x)|2 = Yn(x) Y*n(x)   для n = 1, 2 и 3.

 

                                      Рис. 297

 

Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n = 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед ними уровнями равен

                  (220.9)

Например, для электрона при размерах ямы l = 10-1 м (свободные электроны в металле) DEn » 10-35 n  Дж »10-16 n эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l =  10-10 м), то для электрона DEn » 10-17 n  Дж »102 n эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная p2ℏ2/(2ml2). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Аде частицы в «яме» шириной l равна Dx = l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Dр » h/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Emin » (Dp)2/(2m) = h2/(2ml2). Все остальные уровни (n > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (n >> 1)  DEn/En » 2/n << 1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.


Оцените книгу: 1 2 3 4 5