Название: Курс физики - Трофимова Т.И.

Жанр: Физика

Рейтинг:

Просмотров: 15633


Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z= 1),

где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 302. U(r) с уменьшением г (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):

                                (223.2)

 где m — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (223.2) обычно используют сферическую систему координат: r, q, j. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнении доказывается, что уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Y, только при собственных значениях энергии

         (223.3)

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. § 220) и гармонического осциллятора (см. § 222), решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е1, Е2, Е3,... показаны на рис. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень El, отвечающий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (En > E1, n = 2, 3, ...) — возбужденные (см. § 212). При Е < 0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n = ¥ E¥ = 0. При Е > 0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е > 0 (заштрихована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

 

                                                Рис. 302

 

Выражение (223.3) совпадает с формулой (212.3), полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции Y (r, в, <р), определяемые тремя квантовыми числами: главным л, орбитальным / и магнитным /и/.

Главное квантовое число л, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

 

 Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

                                    (223.4)

где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном л принимает значения

                                    (223.5)

т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор Ll момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Llx на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные n:

                                         (223.6)

где  ml — магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

                                         (223.7)

т. е. всего 2l+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации.


Оцените книгу: 1 2 3 4 5