Название: Биомеханика - Дубровский В.И.

Жанр: Педагогика

Рейтинг:

Просмотров: 1906

Полная энергия колеблющегося тела складывается из его кинетической и потенциальной энергий:

Как видно из (10.12), в этом случае полная механическая энергия системы не изменяется.

Затухающие колебания

Учет сил трения и сопротивления в реальных системах существенно изменяет характер движения: энергия движения постоянно убывает и колебания либо становятся затухающими, либо колебательное движение вообще не возникает.

Если в рассматриваемой системе появляются силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:

Предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах сила сопротивления пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно ей:

где r — коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению. Учитывая (10.13) и (10.14),

или

где

 β─коэффициент затухания; ω0   - круговая частота собственных колебаний системы.

Решение полученного дифференциального уравнения зависит от знака разности ω2=ω02— β2, т. е. от соотношения между величинами β и ω0. Параметр  есть круговая частота затухающих колебаний.

а) Если ω02— β2> 0 и круговая частота со является действительной величиной, то решение уравнения (10.15) имеет вид:

где ω =  круговая частота затухающих колебаний. График таких колебаний представлен на рис. 10.3.

Рис. 10.3. График зависимости смещения от времени при затухающих колебаниях (φ0 -. 0)

В этом случае колебательный характер движения сохраняется, но амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциальному закону А = Α0·ехр(—β·t). Круговая частота колебаний  становится меньше, чем при отсутствии силы трения. Период затухающих колебаний в этом случае возрастает и определяется формулой, показывающей зависимость от коэффициента трения:

Быстрота убывания амплитуды колебаний зависит от коэффициента затухания: чем больше р, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда.

Количественно степень затухания характеризуется безразмерной величиной — логарифмическим декрементом затухания λ:

б) ω02< β2 (сильное затухание), то колебательное движение не возникает. Период колебаний становится мнимой величиной. В этом случае запас механической энергии тела к моменту его возвращения в положение равновесия полностью или почти полностью расходуется на преодоление сил трения и тело останавливается. Такое движение называется апериодическим.

10.2.Вынужденные колебания. Резонанс

В некоторых случаях колебания могут происходить под действием внешних сил.

Вынужденные колебания возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Рассмотрим случай, когда на тело помимо упругой силы F и силы трения Fтр действует еще и вынуждающая гармоническая сила fb= F0·соs(ωв ·t), где F0— амплитуда силы; ωв — круговая частота ее колебаний.

Запишем дифференциальное уравнение движения, вытекающее из второго закона Ньютона:

или

где