Название: Математические модели принятия решений в экономике - Розен В. В.

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 903


Лекция 10. критерий ожидаемой полезности

 

, Недостатки метода сравнения случайных величин по паре показа­телей (М,а). Лотереи. Детерминированный денежный эквивалент ло­тереи. * Кривая денежных эквивалентов лотерей, ее построение по пяти точкам. Функция полезности денег. • Нахождение детерминиро­ванного денежного эквивалента произвольной лотереи. Сравнение ло­терей по их денежным эквивалентам (по ожидаемым полезностям). • Функция полезности лотерей (эмпирический и аксиоматический под­ходы). * Функции полезности произвольных (неденежных) критериев. Задача 13. Сравнение качества работы станций скорой помощи.

1. В ЗПР в условиях риска исходом для принимающего реше­ние при выборе им альтернативы является некоторая случайная величина и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответ­ствующих им случайных величин (см. лекцию 9). Использован­ный в лекции 9 метод сравнения по предпочтению случайных ве­личин содержит два шага. Первый шаг — характеризация случай­ной величины £ векторной оценкой (М, а), где М — М£ — МО и с = 0£ — СКО случайной величины £. Второй шаг — введение не­которого способа сравнения векторных оценок. Наиболее удобным здесь является построение обобщенного критерия, который «пре­вращает» векторную оценку (М, а) внекоторую скалярную оцен­ку q. В результате выполнения этих двух шагов получаем соответ­ствие £ —> q(£), при котором случайная величина £ характеризу­ется единственным числом q(£,), выражающим ее полезность для принимающего решение. Тогда сравнение по предпочтительности Двух случайных величин £і и £2 сводится к сравнению чисел q(£i) и 9(?г), что дает для ЗПР в условиях риска возможность сравнения по предпочтению любых двух альтернатив и нахождения наиболее предпочтительной (оптимальной) альтернативы.

Указанный способ сравнения случайных величин не лишен не­достатков. Во-первых, характеризация эффективности с помощью ожидаемого выигрыша М£ и риска с помощью среднеквадратично­го отклонения о~£ не является единственно возможной. Во-вторых построение обобщенного критерия, сводящего пару оценок (М, сг) в единую числовую оценку, требует, как было показано в лекции 6, большой дополнительной информации о соотношении этих крите­риев между собой. Поэтому в теории принятия решений разрабаты­вались и другие методы. Наиболее важным из них является метод, основанный на построении функции полезности. Цель данной лекции — краткое изложение способов анализа ЗПР в условиях рис­ка на базе понятия функции полезности.

к

ГДЄ рг   >   О,   £ рг   =   1, будем 1 = 1

Вначале сделаем одно терминологическое замечание. Случай-xi   ... хк

ную величину £ =

иногда интерпретировать как лотерею с выигрышами хх,..., Xk. в которой рг — доля билетов с выигрышами хг (і = 1, к). При этом любые две лотереи, выигрыши в которых содержатся в оди­наковой пропорции, считаются равноценными (эквивалентными). Например, лотерея (А), в которой имеется 90 билетов с выигрыша­ми $1 и 10 билетов с выигрышами $100 считается равноценной лоте­рее (В), в которой 90 000 билетов с выигрышем $1 и 10 000 билетов с выигрышем $100. Участие в лотерее есть случайный выбор одного лотерейного билета. При этом, если выбран билет, на котором обо­значено хг, то при хг > 0 будет получен выигрыш в хъ денежных ед., а при хг < 0 проиграна указанная денежная сумма.

Замечание. Вообще, выигрыши в лотерее не обязательно имеют денежный характер. С точки зрения общего подхода к ЗПР в условиях риска выигрыш в лотерее должен рассматриваться как исход, не обязан­ный иметь численную (в частности, денежную) оценку. Однако, посколь­ку анализ денежных лотерей наиболее удобен, на первом этапе ограни­чимся рассмотрением лотерей с денежными выигрышами.

При введении критерия ожидаемой полезности основным явля­ется следующее понятие.

Определение. Детерминированным денежным эквива­лентом лотереи £ (ДДЭ£) называется денежная сумма х, ко­торая для принимающего решение эквивалентна (равноценна) его участию в этой лотерее.

Другими словами, если ДДЭ лотереи £ равен х, то принимающе­му решение безразлично — получить денежную сумму, равную х, или участвовать в лотерее £.

~0,5 л0,75

Рис. 10.1

 

2. Для того чтобы найти ДДЭ произвольной денежной лотереи, достаточно уметь находить ДДЭ простых лотерей, т. е. лотерей с двумя выигрышами. Всякую простую лотерею с выигрышами а и а

  а а

(где а < а), будем записывать в виде £р =   ^   ^    0 < р < 1.

Здесь число рназывается паралетрол простой лотереи. Кри­вая, которая устанавливает соответствие между параметрами прос­тых лотерей и ДДЭ этих лотерей, называется кривой денежных эквивалентов. Опишем здесь одну методику построения кривой денежных эквивалентов — она базируется на предположении, что принимающий решение может указать свой (субъективный) детер­минированный денежный эквивалент для некоторых простых ло­терей. Для построения кривой денежных эквивалентов обратимся к рис. 10.1. Будем по оси абсцисс откладывать деньги (в некото­рых денежных единицах), а по оси ординат — параметр простой лотереи р (0 < р < 1). Кривая денежных эквивалентов состоит из точек с координатами (хр; р), где р — параметр простой лотереи £р,

а хр — ДДЭ простой лотереи £р.

При р = 0 получаем простую лотерею £о =

 

т. е.

лотерея, в которой доля денежных выигрышей а составляет 100\%; ДДЭ такой лотереи, очевидно, должен быть равен а. Аналогично, ДДЭ простой лотереи с параметром р = 1 равен а. Итак, кривая денежных эквивалентов всегда проходит через точки (а; 0) и (а; 1).

Отвлечемся от построения кривой денежных эквивалентов и вспомним про оценку лотереи по критерию математического ожи­дания выигрыша. Математическое ожидание выигрыша в простой

лотерее £р равно М£р = М

а

1-р

а(1 — р) + Ар. Таким обрг1.

зом, М£р — линейная функция переменной р, следовательно, гра­фиком этой функции будет прямая; так как при р = О выполняется равенство М£п — а, а при р = 1 имеем M£i = А, то эта прямая проходит через точки (а; 0) и (А; 1), как и любая кривая денежных эквивалентов.

Рассмотрим теперь вопрос нахождения ДДЭ простой лотереи с

а А

параметром р = 0, 5, т.е. лотереи £0,5 =     _"_   (в лотерее £0 -

U, t)    U, О '

выигрыши а и А равновероятны; такие лотереи называют иног­да лотереями 50-50). Согласно приведенному выше определению, ДДЭ лотереи £о,5 есть денежная сумма хо$, которая для принима­ющего решение равноценна его участию в этой лотерее. Что мож­но сказать о величине £п,5? Возьмем, например, простую лотерею с выигрышами в 10 денежных ед. и в 100 денежных ед. Участие в такой лотерее обычно оценивается суммой 20-30 денежных ед., т.е. суммой, существенно меньшей, чем математическое ожидание вы­игрыша в такой лотерее (равной здесь 55 денежных ед.). С другой стороны, ДДЭ этой лотереи по смыслу не может быть ниже 10. Итак, 10 < Xq,5 < 55. Аналогично, примем, что в общем случае а < £о,5 < М£о,5- Таким образом, точка (2:0,5; 0, 5) лежит на гори­зонтальной прямой р = 0, 5 между точками ее пересечения с прямой і = аи прямой I, соединяющей точки (а; 0) и (А; 1) (рис. 10.2).

Далее, принимающий решение должен указать ДДЭ простых ло- терей £о,25 =      а      А     и£0,75=      а       А,    , Т.е. Zo,25 И £0,75-

 

Те же соображения, которые были высказаны при нахождении точ­ки £0,5, приводят к неравенствам: а < хй^ъ < ^о,5, £о,5 < х0>7$ < А.

Итак, на кривой денежных эквивалентов найдено пять точек: (о;0), (А;1), (£0,25; 0, 25), (x0i5;0, 5), (ж0,75; 0, 75), причем последние три — путем опроса принимающего решение. Проведя через эти пять точек гладкую кривую, получаем в результате эмпирическую кривую денежных эквивалентов (см. рис. 10.1). Рассмотренный способ построения кривой денежных эквивалентов будем называть способом пяти точек.

Замечания. 1. Предположим, что ДДЭ простой лотереи с пара­метром р = 0, 5 уже установлен (т.е. указана точка io,s). Так как точ­ка р = 0, 25 является серединой отрезка с концами р = 0 и р = 0, 5, то ДДЭ лотереи с параметром р = 0, 25 должен быть равен ДДЭ ло-

тереи 50-50 с выигрышами а и хо,5, т.е. :го,25  = ДДЭ

а 1о,5 0,5 0,5

гично, х0,75 = ДДЭ

(Отметим, что последенее равенство может быть использовано также для проверки согласованности ответов принимающего решение.) Анало-

Х0,5 А

0,5   0,5 '

Таким образом, для построения кривой денежных эквивалентов до­статочно уметь находить ДДЭ некоторых лотерей 50-50, выигрыши ко­торых заключены между а к А. При необходимости число эмпирических точек на кривой денежных эквивалентов может быть увеличено.

2. Характерным свойством построенной на рис. 10.1 кривой денеж­ных эквивалентов является то, что при любом значении параметра р простой лотереи £р

ДДЭ£р<М£р. (10.1)

Неравенство (10.1) отражает несклонность принимающего решение к риску: участие в лотерее £р оценивается им суммой, меньшей, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

• Пример. В [29] описан следующий способ построения кривой де­нежных эквивалентов. Владельцу компании задается вопрос: согласен ли он вложить 20 тыс долларов в рискованное предприятие (нефтяную скважину) с ожидаемым доходом в 100 тыс. долларов, если вероятность успеха равна 0,47? Если ответ положителен, то вероятность успеха по­нижается до тех пор, пока опрашиваемому не становится безразлично, выбрать предложение или отказаться от него; если же ответ отрица­телен, то вероятность успеха повышается до того уровня, при котором наступает безразличие. Допустим, безразличие наступило при вероят­ности успеха 0, 35. Так как здесь величина прибыли в случае успеха со­ставляет 100 — 20 = 80, а величина потерь в случае неуспеха равна —20,

„     „„„   -20 80 то имеет место следующее соотношение: 0 = ДДЭ  q gg   0 35 ' откУДа

находят одну точку на кривой денежных эквивалентов. Учитывая, чТо точки (—20; 0) и (80; 1) находятся на ней автоматически, можно укачать ее примерный вид. Для более точного построения кривой денежных эк­вивалентов необходимо увеличить число эмпирических точек.

Определим теперь функции полезности денежного критерии Предположим, что построена кривая денежных эквивалентов прос­тых лотерей с выигрышами а и А. Пусть х есть ДДЭ простой ло­тереи с параметром р. Тогда величина и(х) = р называется полез­ностью денежной суммы х. Таким образом, по определению выполняется следующая равносильность:

и(х)=р    «=Ф   ШЭ£р = х. (10.2)

Функция и(х) называется эмпирической функцией полезнос­ти денежного критерия (функцией полезности денег). Имеем следующее правило.

Правило 10.1. Функция полезности денежного критерия есть функция и(х), графиком которой служит кривая денежных экви­валентов.

Замечание. Существование функции полезности и(х) может быть доказано формально математически при выполнении некоторых условий, относящихся к ДДЭ. А именно, будем предполагать, что выполнены следующие два условия.

При небольшом изменении параметра р простой лотереи ее ДДЭ меняется незначительно.

Если р! < р2, то ДДЭ £Р1 < ДДЭ £Р2с.

Условие (1) содержательно ясно и не вызывает возражений. Содержа­тельный смысл условия (2) состоит в том, что увеличение доли «удач­ных» билетов увеличивает ценность лотереи.

Формально условие (1) означает, что функция р —> ДДЭ £р являет­ся непрерывной, а условие (2) — что эта функция является монотон­но возрастающей (в строгом смысле). Как известно из математического анализа, при указанных предположениях существует обратная функция, причем она также является непрерывной и строго монотонной. В рас­сматриваемом случае в качестве обратной функции выступает функция полезности и(х) Таким образом, при выполнении условий (1) и (2) функ­ция полезности и(х) существует, является непрерывной и строго моно­тонно возрастающей

Для выяснения содержательного смысла полезности вспомним, что для лотереи £р число р указывает долю содержащихся в ней

 

«удачных» билетов (имеющих выигрыш А). Отсюда получаем следующее правило.

Правило 10.2. Полезность денежной суммы х, где а < х < А,

совпадает с долей «удачных» билетов в простой лотерее с выиг­рышами а и А, участие в которой эквивалентно для принимаю­щего решение получению денежной суммы х.

Сделаем несколько замечаний, относящихся к функции полез­ности денежного критерия.

Поскольку функция полезности и(х) строится на основе на­хождения ДДЭ лотерей, она носит субъективный характер.

Бессмысленным является вопрос типа: «Чему равна полез­ность тысячи долларов?» Для правильной постановки вопроса вна­чале надо зафиксировать границы денежных выигрышей aw. А; пос­ле этого для х Є [а, А] можно решать вопрос нахождения полезнос­ти и(х).

Функция полезности и(х) определена для всех ж, заключенных между а и А, т.е. областью определения функции и(х) является интервал [а, А].

4)         Значения функции полезности заключены между 0 и 1, причем и(а) = 0, и(А) = 1.

Функция полезности денежного критерия является монотонно возрастающей в строгом смысле, т.е. условие х < х2 влечет Чсі) < и(х2).

Если принимающий решение не склонен к риску, то его Функция полезности является вогнутой (график функции изображен на рис. 10.3, а).

Подпись: p.
1.0

 

Пояснение. Как уже отмечалось, несклонность к риску для принима­ющего решение проявляется в том, что он оценивает свое участие в ло­терее суммой, которая меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее, т е. ДДЭ £ < М£ Разность Д = М£ — ДДЭ £ в этом случае положительна и называется «надбавка за риск». Если принимающий решение не скло­нен к риску, то он отказывается от возможной надбавки Д, предпочитая уверенно получить сумму, равную ДДЭ£.

7) Если принимающий решение склонен к риску, то его функ­ция полезности является выпуклой (график этой функции имеет вид, представленный на рис. 10.3,6). Склонность к риску характе­ризуется тем, что принимающий решение оценивает свое участие в лотерее суммой, которая больше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее: ДДЭ ^ > М£.

Наконец, если принимающий решение безразличен к риску, то он оценивает лотерею суммой, которая равна ожидаемому выигры­шу в этой лотерее; в этом случае графиком его функции полезности будет прямая, соединяющая точки (а; 0) и (А; 1) (рис. 10.3, б). От­метим, что «степень» склонности или несклонности к риску прояв­ляется в степени выпуклости (вргнутости) графика функции полез­ности.

Замечание. Следует иметь в виду, что для одного и того же прини­мающего решение его отношение к риску может меняться в зависимости от интервала денежных сумм; например, на интервале (а, а) он проявля­ет безразличие к риску, на интервале (а, а2) — склонность к риску и на интервале (а2, А) — несклонность к риску Соответственно этому меня­ется характер выпуклости графика его функции полезности (рис. 10.4).

3

Рз

Подпись:
3. Решим следующую задачу: найти ДДЭ произвольной лотереи, выигрыши которой заключены между а и А. Будем считать, что уже построена кривая ДДЭ простых лотерей с выигрышами а и А, т.е. на интервале [а, А] задана функция полезности и(х). Пусть £ — лотерея вида

(10.3)

Рк

XI

Pi

где Pj > 0, £ pj =

3=1

j — 1, к положим и(х})

хз Є

 

Попро-

1

[a, A]   (j = 1,к). Для произвольного

 

тогда Xj — ДДЭ

буем вместо детерминированного денежного эквивалента лотереи £ найти его полезность, т.е. м(ДДЭ£).

то первоначальная

Так как для принимающего решение денежная сумма х3 равно-

1

а А

ценна его участию в лотерее ^

лотерея £ для него должна быть эквивалентна лотерее £, которая получается из лотереи £ заменой каждого денежного выигрыша х} на участие в лотерее £J; j — I, к. (Наглядно переход от £ к £ можно представить следующим образом: принимающий решение вместо денежного выигрыша х3 получает в качестве приза лотерейный би­лет, дающий ему право участвовать в лотерее ^; рис. 10.5 схемати­чески представляет лотерею £. Каждая лотерея ^ характеризуется тем, что содержит билеты только с выигрышами а и А, причем Доля «удачных» билетов (имеющих выигрыш А), равна в ней и3. Лотерея £ может быть снова приведена к простой лотерее с выиг­рышами а и А следующим образом: надо взять урну, ру-я часть которой заполнена билетами, случайно выбранными из урны, pea. лизующей лотерею £j (j = 1, к). В этой новой урне доля «удачных» билетов составляет pU + ■ • • + Pkuk-

Замечание. Поскольку последнее утверждение представляет собой центральный момент рассуждения, приведем для него обоснование с по- мощью формулы полной вероятности. Участие в лотерее £ можно пред. ставить как опыт со случайными исходами, в ходе которого обязательно наступает одно из событий £i         , причем р} — вероятность собы-

тия (j = l,fc). Далее, Uj есть условная вероятность получения «удач­ного» билета при условии, что произошло событие £j. По формуле пол­ной вероятности получаем, что вероятность выбора «удачного» билета в лотерее £ равна piui + ■ ■ ■ + PkUk, т.е. приходим к указанному выше результату.

Пусть ДДЭ £ = х. Для принимающего решение получение денежной суммы х эквивалентно участию в лотерее £, что, в свою очередь, эквивалентно его участию в простой лотерее £ с выигрышами а и А, в которой доля «удачных» билетов (с выигрышами А) составляет, как показано выше, pUi + ••• + +РкЩ- Таким образом, полезность денежного эквивалента лоте­реи £ определяется равенством

и(ДДЭ£) =pi«i Н        hpfcwfc =р1и(хі)-     -рки(хк). (10.4)

Лотерея называется

Введем краткое обозначение для правой части (10.4). Через иЩ будем обозначать лотерею, которая получается из лотереи £ за­меной каждого денежного выигрыша х3 на его полезность и(х3): u{xi) ... u(xj) ... u(xk) pi ... pj ... рк лотереей в полезностях.

Определение. Ожидаемой полезностью лотереи £ назы­вается математическое ожидание соответствующей ей лотереи в полезностях. ix[£]> т. е. величина

fc

 

В этих обозначениях соотношение (10.4) можно переписать в виде

и(ДДЭ0=М(и1£]), (10.6) что приводит к следующему правилу.

Правило 10.3. Полезность ДДЭ произвольной лотереи £ сов­падает с ожидаемой полезностью этой лотереи.

Из (10.6) находим интересующую нас величину ДДЭ£:

ДЦЭ^ = и-1(М(иИ)).

(10.7)

Равенство (10.7) дает алгоритм нахождения ДДЭ произвольной лотереи £, выигрыши которой заключены между о и А (при усло­вии, что построена кривая денежных эквивалентов простых лоте­рей с выигрышами о и А).

Правило 10.4. Чтобы найти ДДЭ лотереи необходимо реализовать следующие шаги.

Ш а г 1. Построить по заданной лотерее £ лотерею в полезностях и[£]; для этого надо в лотерее £ заменить каждый денежный выигрыш х} на его полезность и(х3).

Шаг 2. Найти ожидаемую полезность М(и[£) лотереи £ по формуле (10.5).

Шаг 3. От точки М(и[£]), лежащей на оси ординат, «перейти» через кривую денежных эквивалентов на ось абсцисс. Полученная точка ы_1(М(и[£])) и будет ДДЭ лотереи £.

Рассмотрим пример сравнения лотерей по их детерминированным денежным эквивалентам.

Возьмем две лотереи: £i

Вначале ме-

По гфавилу 10.4 находим ДДЭ лотерей £і и £2. Для лотерей £і-

ШаГІ*ї=[0°8 0,2- Ш аг 2. М(иЦі]) = 0 • 0, 8 + 1 • 0, 2 = 0, 2. Ш аг 3. ДДЭ Єї = гГ^МСЦб])) =     2) « 1.6.

Шаг 1. иЦ2]

Для лотерей £г-

0,3   0, 46 0,5    0,5 '

Ш аг 2. М(ы[6]) ~ 0,3 • 0,5 + 0,46 ■ 0, 5 = 0, 38.

Ш аг 3. ДДЭ 6 = u-^M« «-^О, 38) « 2, 3.

Так как ДДЭ£г > ДД9£і, то по критерию ДДЭ более предпочти­тельной оказывается лотерея І2.

В то же время по критерию ожидаемого выигрыша более предпо­чтительной будет лотерея fi, так как M£i = 1-0,8+10-0,2 = 2,8; М£г = 2 • 0, 5 + 3 ■ 0,5 = 2,5. Наблюдаемое противоречие между этими критериями объясняется тем, что критерий МО не учитывает отноше­ния принимающего решение к риску, а критерий ДДЭ — учитывает (вид кривой денежных эквивалентов показывает, что в данном случае прини­мающий решение не склонен к риску).

Интересно сопоставить способ сравнения лотерей по ДДЭ и рассмот­ренный в лекции 9 способ сравнения лотерей по обобщенному критерию q (см. формулу (9.1)). Проведем это сопоставление для рассматриваемого примера. Для нахождения

і = Mil - (Мб)2 = 1 • 0, 8 + 100 • 0, 2 - (2, 8)2 = 12, 96,

откуда а?1 =3,6. Далее,

D& = Mil - (Мб)2 = 4 • 0,5 + 9 • 0, 5 - (2,5)2 = 0,25,

откуда ег{2 = 0,5. Имеем: д(6) =2,8 — 3, 6А; g(6) = 2,5 - 0,5А, откуда

9(6) > 9(6)

2.8 - 3.6А > 2.5- 0,5А <^=> А < —.

Таким образом, Іі будет предпочтительней, чем І2 по обобщенному кри­терию q для принимающего решение, у которого показатель несклоннос­ти к риску А < 3/31; это весьма низкая «степень осторожности».

Так как функция полезности денежного критерия является мо­нотонно возрастающей (свойство 5), то для любых двух лоте­рей £i и £г условие ДДЗ£і   > ДДЭ £2 равносильно тому, что и(ДДЭ^) > и(ДДЭ6); согласно (10.6) имеем и(ДДЗ£і) = М(и[£і]), и(ДДЭ£2) = М(и[£2), откуда получаем

ДДЭ & > ДДЭ &    ф=ф    М(«[6]) > М(м[6]).

(10.8)

равносильность (10.8) показывает, что сравнение лотерей по их ДДЭ сводится фактически к сравнению ожидаемых полезностей этих лотерей.

Правило 10.5 (критерий ожидаемой полезности). Для лю­бых двух лотерей (i с денежными выигрышами, заключенными между а и А, лотерея £j считается более предпочтительной, чем лотерея £2 тогда и только тогда, когда ожидаемая полезность лотереи £1 больше, чем ожидаемая полезность лотереи £2-

4. Пусть й — функция, которая каждой лотерее £ ставит в со­ответствие ожидаемую полезность этой лотереи: й(£) = М(ы[£]). Функция й называется эмпирической функцией полезности лоте­рей. Областью определения функции й является множество все­возможных лотерей, выигрыши которых заключены между о и Л (это множество обозначается далее через L[a, А]); значением функ­ции й(£) является некоторое число — ожидаемая полезность ло­тереи £. Напомним, что функция й строится в два этапа: первый этап состоит в построении эмпирической функции полезности и(х) рассматриваемого критерия на интервале [о, Л]; второй этап пред­ставляет собой линейное продолжение функции и на множество ло­терей L[a, А].

Основным алгебраическим свойством функции й является ее линейность. Для формулировки этого свойства потребуется следу­ющее понятие.

Пусть £1,^2 — Две лотереи, выигрыши которых находятся в интервале [о, А]. Тогда можно построить новую лотерею

6 6

а. а?2

(«!, а2 > 0, «і + а2 = 1),

выигрышами которой являются билеты на право участия в лотере­ях £j и £2- При этом лотерея с*і£і + аг£г может быть приведена к лотерее с выигрышами из интервала [о, А] — тем же способом, ко­торый был использован в п. 3 при решении задачи нахождения ДДЭ произвольной лотереи. Таким образом, множество лотерей L[a, А] образует выпуклое пространство. Формально это означает, что в этом множестве можно производить операцию «смешивания» — по любой паре лотерей fi и £2 строить новую лотерею ai£i 4- а^ при этом для операции «смешивания» выполняются обычные цра вила, которые справедливы для операций сложения и умножену в линейном пространстве

Линейность функции й состоит в том, что для любых £і,£2 £ Є L[a, A], aitt2 > О, «і + «2 = 1 выполняется равенство

й(«і6 + а26) = + «2U(6)         (10 9)

(Формальное доказательство (10.9) может быть получено с помо­щью формулы полной вероятности, см. замечание в п 3).

В силу правила 10 5 предпочтение между двумя лотереями £1 и £2 может быть выражено с помощью функции й:

6^6    «=»    й(&)>й(&). (Ю10)

Итак, на множестве лотерей L[a, А] построена некоторая функ­ция й, по величине которой устанавливается предпочтение между произвольными двумя лотереями, при этом основным алгебраичес­ким свойством функции й является ее линейность Величину й(£) можно рассматривать как численную оценку лотереи £, а саму функцию й — как обобщенный критерий на множестве лотерей

Возникает законный вопрос, — можно ли «придумать» другой способ сравнения лотерей? С логической точки зрения здесь наиболее естествен­ным является аксиоматический путь, впервые примененный для решения указанной проблемы Нейманом и Моргенштерном [41]

В схематическом виде подход Неймана и Моргенштерна состоит в следующем Пусть на множестве лотерей L[a, А] задано некоторое от-

ношение предпочтения У, устанавливающее полное ранжирование этого

множества (т е для У выполняются аксиомы линейности и транзитив­ности) Справедлив следующий результат

*

Теорема 10.1. Предположим, что отношение У удовлетворяет аксиомам

(AV) При любых лотереях £1,^2, Сз Є L[a, А] множества {а Є [0,1] * * аб + (1 - а)6г£6} и {а Є [0,1] + (1 - а)6} являются

замкнутыми,

(А2) Если £1 ~ £2, то при любой лотерее £ 6 L[a, А] а£і + (1 - а)С ~ afe + (1 - а)?

Тогда

1)         существует заданная на множестве лотерей числовая функ- , if обладающая следующими свойствами

а)         V представляет отношение      т е

6^2      <=> V(fi)>V(ft),

б)         функция V является линейной

2)         Если Vi — некоторая •числовая функция, заданная на множестве лотерей, удовлетворяющая условию линейности и представляющая

ртношение     то найдутся такие постоянные k, I, где к > 0, что

Vi(0 = kV(t)+l

Поясним содержательный смысл утверждений 1) и 2) Отождествляя

исход х Є [а, А] с лотереей

, можно считать, что [а, А] С L[a,A]

Пусть v — ограничение функции V на множестве [а, А], а v — линейное продолжение функции v на множество лотерей Так как функции v и V обе линейны и совпадают на [о, Л], то v = V Назовем v функцией полезности исходов, а ее линейное продолжение v — функцией полезности лотерей Согласно а)

5(6) > £(6) (ЮН) Таким образом, утверждение 1) теоремы 10 1 означает, что всякое

предпочтение £3, задающее полное ранжирование множества лотерей

и удовлетворяющее аксиомам (А1) и (А2), совпадает с предпочтением,

которое устанавливается по величине ожидаемой полезности лотерей

для некоторой функции полезности исходов v

Утверждение 2) теоремы 10 1 означает, что измерение предпочте-*

ния> выполняется в интервальной шкале оно определяется однознач­но фиксированием масштаба и начала отсчета

5. Рассмотренный в предыдущих пунктах данной лекции способ сравнения денежных лотерей может быть с небольшими модифика­циями перенесен на лотереи, выигрыши в которых не имеют де­нежного выражения Рассмотрим в качестве примера неденежного Показателя такой показатель, как время Для использования кри­терия ожидаемой полезности основным является введение понятия Детерминированного временного эквивалента лотереи

 

Определение. Пусть £ =

 

Pi

tk

Pk

лотерея с

вре-

менными исходами, где рг > 0, ^2 рг = 1. Детерминированным

г=1

временным эквивалентом лотереи £ (обозначение: ДВЭ£) ца_ зывается промежуток времени t, который для принимающего ре_ шение эквивалентен его участию в этой лотерее.

Как и в случае лотерей с денежными исходами, нахождение ДВЭ произвольной лотереи с временными исходами может быть сведено к нахождению ДВЭ некоторых простых лотерей, причем «связую­щим звеном» здесь является построение кривой временных эквива­лентов, являющейся графиком функции временной полезности.

Замечание. Так как тэинимаюший решение обычно стремится уменьшить временной показатель, то для того, чтобы кривая временных эквивалентов имела такой же вид, как и кривая денежных эквивалентов, надо от переменной t перейти к новой переменной t' по формуле t' = -t или t' = с — і, где с — некоторая константа. В этом случае целью принимающего решение будет увеличение показателя t'

Задача 13. Сравнение качества обслуживания станции

скорой помощи.

Оценкой качества (быстроты) обслуживания для станции ско­рой помощи будем считать время реагирования на вызов, т.е. вре­мя, проходящее с момента получения вызова до момента выезда бригады скорой помощи. На основании статистических данных, относящихся к определенному периоду времени (например, меся­цу), время реагирования может быть представлено в виде дискрет­ной случайной величины (лотереи) £ = ^'

U = 1,*0, где tj

фактическое время реагирования (в минутах), р3 — доля случаев, в которых наблюдалось время реагирования tj. Сравнение качества обслуживания двух станций скорой помощи сводится к сравнению соответствующих им случайных величин. Рассмотрим в качестве упрощенного примера две станции, характеризуемые случайными

величинами £i =

5 0,3

10 0,5 25 0,2

и Ь =

8 13 18 0,1   0,8 0,1

Какая из

этих станций быстрее реагирует на вызовы?

Воспользуемся вначале критерием математического ожидания. Для первой станции Mfi = 5 • 0,3 + 10 • 0, 5 + 25 • 0, 2 = 11, 5; для второй станции М£2 = 8 • 0,1 + 13 • 0, 8 + 18 • 0,1 = 13. Итак, соглас­но критерию математического ожидания, первая станция работает мучите второй. Заметим, что здесь математическое ожидание фак-т0чески дает среднее время реагирования; таким образом, у пер­вой станции среднее время реагирования на 1,5 мин меньше, чем у второй. Однако, можно ли считать среднее время реагирования адекватной характеристикой качества (быстроты) работы станции скорой помощи? По-видимому, ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Дело в том, что при подсчете среднего времени реагирования может наблюдаться эффект компенсации «плохих» показателей «хорошими». Например, для первой станции среднее время реагирования составляет 11, 5 мин, однако в 20\% случаев фактическое время реагирования превышает этот показатель бо­лее чем вдвое (компенсация 20\% «плохих» показателей произошла за счет 30\% «хороших»). Однако в реальности такая компенсация не происходит: для тех 20\% больных, для которых время реагиро­вания составило 25 мин, исход мог оказаться трагическим. С точ­ки зрения контролирующего органа, оценивающего работу станций скорой помощи, превышение некоторого стандарта (пороговой ве­личины) является крайне нежелательным.

Допустим, пороговое время реагирования составляет 15 мин; тогда, чтобы оценить ДВЭ простых лотерей, перейдем к новой временной переменной t' = 15 — t. Величина t' указывает в каждом конкретном случае — насколько этот случай улучшает пороговое время реагирования (если t' > 0) или насколько он ухудшает его (если t' < 0). Составим таблицу пересчета временной переменной (табл. 10.1) и перейдем от случайных величин d и к случайным величинам    = 15 — ^ и £'2 = 15 -

10 5 -10' 0,3   0,5 0,2

7 2-3 0,1   0,8 0,1

Далее, принимающий решение должен указать ДВЭ некото­рых простых лотерей на временном интервале [—10,10]. С уче­том нежелательности ухудшения порогового времени реагиро­вания (т.е. нежелательности отрицательных значений перемен­яй Ґ), зададим ДВЭ простых лотерей при значениях параметра Р = 0, 5; 0, 25; 0,75 следующим образом:

Подпись: 0,5 0,5Подпись: ДВЭдвэ

= -6, ДВЭ

 

-10 10 0,25   0, 75 -10 10 0,75   0, 25

 

= -2.

Теперь строим кривую временных эквивалентов по пяти точкам (рис. 10.7). Используя правило 10.4 (с заменой ДДЭ на ДВЭ) находим ожидаемые полезности лотерей £j и £2:

Подпись: М

Подпись: М
M(uft]) = М М («[&]) = М

u(10) и(5) и(-10) 0,3     0,5      0,2

и(7)   и(2) и(-3) 0,1    0,8     0,1

1 0,9 0, 3   0,5

0, 94 0, 82 0,1 0,8

0

0,2

0,68 0,1

= 0, 75; '0,82.

Таким образом, М(и{£'2}) > М(и[£[]), т.е. по критерию ожидаемой полезности лучшей должна быть признана вторая станция. Содер­жательно этот факт может быть объяснен следующим образом: хо­тя вторая станция имеет худшее среднее время реагирования, у нее меньший процент нежелательных отклонений от порогового време­ни реагирования, причем сами эти отклонения меньше по величине.

Декция 11. Использование смешанных стратегий как способ уменьшения риска

 

, Понятие смешанной стратегии. Стандартный симплекс. Спосо­бы реализации смешанной стратегии. • Снижение риска при исполь­зовании смешанных стратегий. Задача условной минимизации риско. • Портфель ценных бумаг (портфель инвестора), его структура и эф­фективность. Способы снижения риска при формировании портфеля ценных бумаг. • Задача 14. Задача об оптимальном портфеле.

1. Один из способов уменьшения риска состоит в использова­нии смешанных стратегий. Рассмотрим задачу принятия решения, в которой имеется п альтернатив 1,п, называемых также чисты­ми стратегиями или просто стратегиями.

Определение. Смешанной стратегией называется п-ком-понентный вероятностный вектор, т. е. вектор

х = (х,..., хп),

п

где хг > О, ^2 хг = 1-і=і

При этом чистая стратегия і = l,n отождествляется со сме­шанной стратегией (0,..., 1,..., 0), где 1 стоит на г-м месте. Мно­жество всех п-компонентных вероятностных векторов образует (тг — 1)-мерный стандартный симплекс, который обозначается да­лее через Sn.

Одномерный стандартный симплекс геометрически может быть представлен в виде отрезка (рис. 11.1, а)): любая точка М отрезка М1М2 единственным образом записывается в виде:

М = ххМх + х2М2,

гДе Xi,x2 > 0 и Х + х2 = 1. Аналогично, двумерный сим­плекс геометрически может быть представлен в виде треугольника

 

(рис. 11.1,6)), так как любая точка М треугольника записыва^ется в виде:

М = xiMi + х2М2 + х3Мз,

где хі,х2,Хз > 0 и х + х2 + хз = 1. При этом числа (хі,х2, х3) называются барицентрическими координатами точки М в симпликсе ММ2Мз. Например, центр треугольника (точка пересечения медиан) имеет барицентрические координаты (1/3, 1/3,1/3); барицентрические координаты некоторых точек тре­угольника ММ2Мз приведены на рис. 11.1,6).

В задачах принятия решений смешанная стратегия х = = (xi,.. .,хп) может быть реализована одним из следующих спо­собов.

Вероятностный способ состоит в том, что принимающий ре­шение выбирает одну из альтернатив 1, п не путем явного указания, а случайно, причем так, что хг есть вероятность выбора альтерна­тивы г.

Физическая смесь стратегий получается тогда, когда воз­можно «смешивание» альтернатив (эта возможность определя­ется физической природой альтернатив). В этом случае вектор (xi,...,xn) соответствует физической смеси чистых стратегий, в которой Xi — доля г-х чистых стратегий.

3)         Статистический способ может быть реализован в том случае, когда решение принимается многократно. Тогда г-я ком- понента вектора х указывает частоту использования г-й чистой стратегии.

2. Рассмотрим применение смешанных стратегий для задачи принятия решения в условиях риска. Как было показано выше (см. лекцию 9, п. 1), в таких задачах исходом для принимающего реше­ние при выборе им альтернативы г = 1,п является случайная ве­лйчііна вида £j =    '     у      По-прежнему ее математическое ожи-

даЯие (ожидаемое значение) обозначаем через Мі, дисперсию че­рез Dii среднеквадратичное отклонение — через а і. Если принима­ющий решение использует смешанную стратегию х = (х,..., хп), 7о исходом, соответствующим этой смешанной стратегии, будет

п

случайная величина £ =

і=1

Найдем математическое ожидание М£ и дисперсию D£ случай­ной величины £. Используя простейшие свойства математического ожидания, получаем:

п          п п

і=і

»=1

t=i

Для отклонения случайной величины £ от ее ожидаемого значе­ния выполняется условие

п          п п

£ - М£ = ]Г      - ^ ссіМі = £3       - Мі),

г=1      г= 1     г= 1

откуда получаем выражение для дисперсии

п п

1=1

DZ = М{І - MQ2 = M[(jT- Мі)) ( J] х№ - Mi))] =

J'=l

= £ XiXjMf^i - Mi){tj - Mj)].

 

Вводя обозначения Vtj = M[(& — M,)(£j — Mj)], окончательно получаем

 

 

53 Vijxi\%j­

(11.2) (11.3)

 

Числа Vi_j называются показателями коеариации для случай­ных величин Іі и £j. Итак, имеем следующее правило.

Правило 11.1. Дисперсия случайной величины £ — xi£t

1=1

может быть представлена в виде квадратичной формы (11.2) козффицгіентами которой являются показатели ковариации Vt а переменными — компоненты вероятностного вектора х ~ — (х 1,..., хп).

Формулу (11.2) можно сделать более «прозрачной», если пере­йти от показателей ковариации к коэффициентам корреляции. На­помним, что коэффициентом корреляции между случайными величинами £г и     называется число

_ М[(6-М.)&-М,)]

0~г0~]

Так как Vl3 = гг]ага3, то подставляя это выражение в (11.2), получаем

тг

DZ = S г13(агХг)(^х3). (11.4)

 

Как известно, коэффициент корреляции г1} показывает степень связи случайных величин £г и Рассмотрим частный случай формулы (11.4), когда случайные величины £, (г = 1,п) попарно независимы. В этом случае они не коррелированны, т.е. при і ф j имеем rtj = 0, а при і = j получаем

М[(6 - MQ(& - MQ] _ М(& - Мг)2 _^

 

откуда

п

= ^(аЛ)2. (11.5)

г=1

Применим теперь полученные выше формулы для выяснения целесообразности использования смешанных стратегий в ЗПР в условиях риска. Как показывает формула (11.1), использование смешанных стратегий с целью повышения ожидаемого выигрыша бесполезно. В самом деле, пусть г* — та чистая стратегия, на которой величина Мг = М£г достигает максимума. Согласно (11.1),

п          п п

M£ = Y^ хгМг < ^ хгМг. = М». ]Г хг = Мг~.

i=        г=і і=і

Таким образом, при применении любой смешанной стратегии 0лсидаемый выигрыш будет не больше, чем ожидаемый выигрыш при применении чистой стратегии г*.

Оценим теперь величину показателя риска о~£ при использова­нии смешанной стартегии х. Так как величина показателя риска зависит от степени корреляции между случайными величинами (£г) (І = (см. формулу (11.4)), то далее мы рассмотрим три харак­терных случая.

1) Случайные величины (£,) попарно некоррелированны (гг] = О при всех г ф j, где i,j = 1,п). Возьмем, например, в качестве смешанной стратегии х равномерно распределенную стратегию (т.е. хг = 1/п для г = 1,...,п). Тогда, согласно (11.5),

VBe=xE(£)--i,I>

i=i      »=і

(11.6)

Отсюда, полагая а = шаха,, имеем

, 1 /~~^ о ое < — у па  =- -у=.

п Jn

(11.7)

Так как с ростом п дробь а/неограниченно уменьшается, приходим к следующему важному выводу.

Правило 11.2. Для ЗПР в условиях риска, в которой слу­чайные величины (£г) ме коррелированны, применение смешанных стратегий ведет к уменьшению риска. В частности, если все дисперсии (стг) г = 1,п ограничены в совокупности некоторой кон­стантой, то при п —> оо риск стремится к нулю.

Поясним сформулированное правило на следующем примере.

• Пример 11.1. Рассмотрим ЗПР в условиях риска, заданную табл. 11.1.

 

Пусть хк (к < п) — смешанная стратегия, в которой первЬ1е к стратегий из 1,п выбираются равновероятно, а остальные стра тегии входят с нулевыми вероятностями (т.е. отбрасываются). С0 гласно (11.1) и (11.5), математическое ожидание и СКО случай ной величины, возникающей при использовании смешанной стра­тегии хк, определяются равенствами

 

к

1

к

г=1

Так, для примера 11.1 при смешанной стратегии х1 ~ = (1/2,1/2,0, 0,0) математическое ожидание равно (20+18)/2 = 19) а среднее квадратичное отклонение есть л/42 -f З2/2 = 2,5. В табл. 11.2 представлены показатели Мис для смешанных стра­тегий хк, к = 1,2,3,4,5. Из нее наглядно видно, что при увеличе­нии числа «смешиваемые» стратегий незначительное уменьшение ожидаемого выигрыша сопровождается устойчивым снижением риска.

2) Случай полной прямой корреляции (гг] = 1 для всех i7j = = 1,п). Тогда, согласно (11.4),

п     п   п          п          п 2

i=l j = г—1    j = l      г = 1

откуда

п

Пусть min аг достигается при і = г'о, a max ог — при г = г*.

1£г£п 1<г<п

Тогда, на основании (11.8),

п          п п

(Т£ = ^ГагХі < ^2аг* хг = °г* ^ Х\% ~ °\%* ' г = 1    г=1      г —1

п          п п

Хг — (7it ? = 1    г = 1    г = 1

 

откуда

&10 < аІ < (її-9)

Итак, в случае полной прямой корреляции использование сме­шанных стратегий с целью снижения риска бесполезно. Действи­тельно, согласно (11.8), получающийся при смешивании стратегий показатель риска есть взвешенная сумма показателей риска о~г; риск При применении любой смешанной стратегии будет не меньше, чем наименьший из рисков, соответствующих чистым стратегиям, и поэтому при п —» оо он не будет стремиться к нулю.

3) Случай полной обратной корреляции (гг] = — 1 при і ф j). рассмотрим для простоты пример, когда имеются всего две аль­тернативы, т.е. п — 2. Тогда, согласно (11.4),

п

 

г J = l

= (с"іяі)(<7іяі) - (о-іХі)(а2х2) - {o-2x2)(o-xxi) + [a2x2)(a2x2) ~ = {o-Xi)2 - 2(aixi)(a2x2) + (cr2x2)2 = (axxx - a2x2)2.

Отсюда получаем     = 0       Z)£ = О    -ф=>    ~ = a2/ax.

Таким образом, в этом случае риск может быть полностью исключен при использовании смешанной стратегии х — (хх,х2), компоненты которой обратно пропорциональны показателям риска для случайных величин £i и £2.

Вернемся теперь к рассмотрению общего случая — когда между случайными величинами (£г), г = 1,п, имеется корреляция, но она не является полной. Тогда при применении смешанной стратегии ж = (хх,. .., хп) величина показателя риска находится по общей формуле (11.3), использование которой предполагает знание пока- зателей ковариации VXJ (или коэффициентов корреляции гг]). Если матрица ковариации            J=Tn известна, то возникает следующая

задача: при какой смешанной стратегии риск минимален!

Математически эта задача разрешима (так как целевая функ­ция (11.3) определена на замкнутом ограниченном множестве Sn и Непрерывна на нем, ее минимум достигается на Sn по теореме Вей-ерштрасса, см. лекцию 3). Однако с экономической точки зрения ее решение не представляет интереса, так как стратегия, мини­мизирующая риск, может привести к очень маленькому ожидаемо­му выигрышу. Помня о том, что осторожный экономист стремит­ся к увеличению ожидаемого выигрыша и одновременному сниже­нию риска, необходимо рассматривать ЗПР в условиях риска как Двухкритериальную задачу и использовать методы многокритери­альной оптимизации (см. лекцию 9). Естественным здесь является такой подход, когда по критерию ожидаемого выигрыша — к более «осязаемому» — назначается нижняя граница Мо и ищеТся стратегия, которая обеспечивает ожидаемый выигрыш Mq с щ нимальным возможным риском. Таким образом, решается зад^Ча условной минимизации риска при дополнительном условии, нал0 женном на величину ожидаемого выигрыша.

При возможности использования смешанных стратегий получа­ем следующую математическую задачу: найти минимум фуцк,

ции (11.3) при ограничениях <х£ Sn, ^3 Мгхг = Mo \■

»=1 >

Сформулированная задача является задачей квадратичного программирования, для решения которых имеются специальные ме­тоды.

3. Важным примером экономической реализации принципа «смешивания» стратегий является способ распределения капитала на рынке ценных бумаг. Обычно на рынке обращается множество видов ценных бумаг. Курсовая стоимость ценных бумаг каждого вида зависит от большого числа разнообразных факторов и может рассматриваться как случайная величина.

Предположим, что на рынке имеется п видов ценных бумаг Т~п. Если инвестор вложит весь инвестиционный капитал в ценные бу­маги одного вида г = 1,я, то исходом для инвестора будет неко­торая случайная величина £г, значения которой определяются кур­совой стоимостью ценных бумаг г-го вида и величиной вложенного капитала. Эта случайная величина может быть охарактеризована парой показателей (Мг,сгг), где Мг — ее математическое ожида­ние (т.е. ожидаемый доход) и аг — среднеквадратичное отклоне­ние (показатель риска). Но обычно инвестор вкладывает наличный капитал не в один, а в несколько видов ценных бумаг, составляю­щих портфель инвестора. Предположим, что инвестор распре­делил свой капитал между ценными бумагами видов 1,п, причем доля капитала, вложенного в ценные бумаги г-го вида, равна хг (по

п

смыслу хг > 0, 53 хг = 1)- В „терминах п. 1 это означает, что ин-

г=1

вестор использует смешанную стратегию х = (х,..., хп); тогда исход для него может быть представлен в виде случайной величи-

ны £ = 53 хг£п Для которой ее характеристики М и а находятся по

г = 1

формулам (11-1) и (11.3).

Лтак, структура портфеля инвестора определяется вектором j. = (х, ■ • ■ j хп), а эффективность портфеля характеризуется век­торной оценкой (М, с), где М = М(х) — ожидаемый доход (доход цортФеля) и с = о~(х) — показатель риска (риск портфеля). В ре­зультате получаем двухкритериальную ЗПР, для которой множест­во ее альтернатив может быть отождествлено с множеством точек стандартного симплекса Sn, а критерии М(х) и а(х) определены ^едующими равенствами:

i=i

£ Уг3ХіХ]. (11.11) X,j7=l

М(х) = ^2Мгхг; (11.10) а(х) =

Здесь множество векторных оценок есть {(М(х),а(х)) : х Є Sn} — оно является непрерывным, т. е. «заполняет» некоторую область на плоскости переменных (М, о~). Таким образом, получаем в данном случае непрерывную задачу двухкритериальной оптимизации с критериями М(х) и а(х).

Нашей целью является нахождение способов снижения риска при формировании портфеля ценных бумаг. Как было показано вы­ше (см. п. 2), в задаче принятия решения в условиях риска приме­нение смешанных стратегий может привести к уменьшению риска; эта возможность определяется характером корреляции между слу­чайными величинами (£,). Выясним структуру ЗПР, возникающей в данном случае. В качестве альтернатив инвестора (множества чистых стратегий) здесь выступают виды ценных бумаг 1,я. Что выступает здесь в качестве состояний среды? Так как при фикси­рованном капитале инвестора его доход при выборе им г-й альтер­нативы (т.е. при вложении всего капитала в ценные бумаги г-го вида) будет определяться курсовой стоимостью ценных бумаг г-го вида, то в качестве состояний среды здесь можно рассматривать будущие значения курсовых стоимостей ценных бумаг всех видов.

Разумеется, на момент принятия решения будущие значения Курсовых стоимостей ценных бумаг инвестору неизвестны. Сущест­венным здесь является то, что их можно трактовать как некоторые случайные величины. Именно это обстоятельство позволяет счи­тать рассматриваемую задачу задачей принятия решения в усло­виях риска.

Найдем теперь в явной форме исход, который имеет место Црй выборе инвестором г-й чистой стратегии. Пусть г/г — курсовая сто имость ценных бумаг г-го вида, 77° — начальная курсовая стоимость ценных бумаг г-го вида (на момент принятия решения). Разность Ацъ — Ці — Vi представляет собой изменение курсовой стоимости ценных бумаг г-го вида, причем условие Ат]г > 0 соответствует повышению курсовой стоимости, условие Аг)г < 0 — понижению курсовой стоимости, Ат]г = О — сохранению курсовой стоимости.

В качестве исхода для инвестора при выборе им чистой стра­тегии г = 1,п можно рассматривать £, = Аг}г/г}^, т.е. величину изменения курсовой стоимости ценных бумаг і-го вида, отнесен­ную к ее начальной курсовой стоимости.

Проанализируем характер корреляции между случайными вели­чинами fyi/irjj. Говорят, что между случайными величинами 77, и щ имеется положительная корреляция, если всякое увеличение курсо­вой стоимости ценных бумаг г-го вида сопровождается увеличением курсовой стоимости ценных бумаг j-ro вида; отрицательная кор­реляция, если всякое увеличение курсовой стоимости ценных бумаг г-го вида сопровождается уменьшением курсовой стоимости ценных бумаг j-ro вида.

Замечание Отметим, что изменение курсовой стоимости ценных бумаг одного вида само по себе не является причиной изменения курсовой стоимости ценных бумаг другого вида. Истинной причиной изменения курсовых стоимостей ценных бумаг служат внешние события макро­экономического и политического характера (такие, как изменения законодательства, изменения цен на энергоносители, внедрение но­вых технологий, договора между крупными корпорациями, наступле­ние «крупномасштабных» несчастных случаев, стихийные бедствия и т.п.). Однако, экономическая реальность такова, что подобные измене­ния внешних факторов приводят, как правило, к синхронному изменению курсов ценных бумаг.

Правило 11.3. Предположим, что курсовые стоимости ценных бумаг видов і и j связаны таким образом, что всякое при­ращение курсовой стоимости ценных бумаг вида і сопровожда­ется пропорциональным приращением курсовой стоимости, ценных бумаг вида j (с некоторым коэффициентом пропорцио­нальности к ф 0). Тогда:

а)         при к > 0 для £г и ^ имеет место полная прямая корреляция;

б)         при к < 0 для £г и ij имеет место полная обратная корреляция.

Доказательство. В данном случае выполняется равенство = кАт]г. Так как £, = Апг/грг,    — Ar]j/rfv то получаем

 

Последняя дробь есть некоторая постоянная с, откуда = с£г. Получаем, что случайные величины £г и ^ связаны линейной зависимостью; это эквивалентно условию, что корреляция является полной. Для завершения доказательства остается заметить, что знак с   совпадает со знаком к.

На основании результатов, изложенных в п. 2, получаем:

А) При выполнении условия At]j = кАт]г, где к > 0 (случай полной прямой корреляции) «смешивание» ценных бумаг видов г и j не приводит к уменьшению риска;

Б) При выполнении условия An., = кАг}г, где к < 0 (случай пол­ной обратной корреляции) «смешивание» ценных бумаг видов і и j в отношении обратной пропорциональности показателям рисков аг и <7j сводит риск до нуля.

В заключение следует отметить, что в экономической реальнос­ти наличие полной корреляции, так же как и полное отсутствие корреляции — явления достаточно редкие. Типичной является ситуация, когда между курсами ценных бумаг существует корре­ляция, выражаемая в виде пропорциональности приращений кур­совых стоимостей с некоторым переменным коэффициентом про­порциональности к.

Приближенные значения коэффициентов корреляции между кур­сами ценных бумаг могут быть получены на основании сведений о биржевом курсе ценных бумаг (такие сведения регулярно публи­куются в странах с развитой рыночной экономикой).

4. Задача 14. Задача об оптимальном портфеле.

При какой структуре портфеля следует считать его оптималь­ным? В силу наличия двух критериев оценки — ожидаемого дохода и риска, — которые не сведены в один обобщенный критерий, од­нозначный ответ на этот вопрос невозможен (см. лекцию 5). Необ­ходимым условием оптимальности портфеля является условие оп­тимальности по Парето. Содержательно оптимальность некоторого портфеля по Парето означает, что не существует другого портфе­ля, который имеет такой же (или больший) ожидаемый доход при меньшем (или таком же) риске.

 

Однако обоснованный выбор одной (оптимальной) альтернати вы из множества альтернатив, оптимальных по Парето — пред ставляет собой сложную проблему, для решения которой требует ся дополнительная информация о соотношении между собой крите-риев Мис. Более простая задача — сужение Парето-оптимального множества — может быть решена, например, на базе субоптимиза­ции (см. лекцию 5, п.З), которая принимает здесь следующий вид Зададим некоторое пороговое значение Мо для ожидаемого дохода и среди всех альтернатив х будем искать такую, которая обеспечи­вает ожидаемый доход Мо с наименьшим возможным риском.

Формально такая постановка сводится к следующей математи- ческой задаче: найти минимум функции о~(х) вида (11.11) при огра- ничениях М(х) = Мо их Є Sn. Итак, получается задача нахожде- ния экстремума функции п переменных при наличии ограничений. Решение такой задачи существенно упрощается, если ограничения принимают вид равенств — тогда получается задача нахождения условного экстремума функции (см. лекцию 3, п. 3). В рассматрива- емом случае этого можно добиться, если отбросить условие неотри- цательности переменных Хі, i — ,n — тогда система ограничений , п        п .

принимает вид: і      МгХі = Мо,      хг = 1 > и решение такой за-

і=і        і=і '

дачи может быть найдено методом множителей Лагранжа.

Предположим, что вектор х* = (х,..., а;*) является решени­ем указанной задачи. Выясним содержательный смысл компонент вектора х*. Возможны три случая.

х* = 0. Тогда в ценные бумаги г-го вида капитал вкладывать не надо.

х* > 0. Тогда в ценные бумаги г-го вида следует вложить х*-ю долю наличного капитала инвестора.

х* < 0. Тогда инвестору следует взять в долг дополнитель­ный капитал в размере |ж£|-й доли капитала инвестора.

Замечание. Для


Оцените книгу: 1 2 3 4 5