Название: Математические модели принятия решений в экономике - Розен В. В. Жанр: Экономика Рейтинг: Просмотров: 903 |
Лекция 15. игры п лиц в нормальной формеИгра п лиц как математическая модель совместного принятия решения в условиях несовпадения интересов. Бескоалиционные игры. Примеры экономических задач, моделируемых бескоалиционными играми. • Принцип оптимальности в форме равновесия по Нэшу. Некоторые особенности принципа равновесия по Нэшу. • Теорема Нэша о реализуемости принципа равновесия в смешанных стратегиях. К.-устойчивость. Формулировка условия К.-устойчивости в рамках системного описания и на языке стратегий. • Задача 20. Задача распределения ресурсов. 1. Системное описание задачи принятия решения в общем случае отражает воздействие на объект управления со стороны п управляющих подсистем, где п > 2. Пусть Хг — множество альтернативных управляющих воздействий г-й управляющей подсистемы, А — множество исходов (в качестве которых выступают состояния управляемой подсистемы). Функция реализации F в этом слу- чае задается в виде отображения множества ситуаций X = ]~[ Хг во г=1 множество исходов А. Таким образом, функция реализации каждой ситуации х — [х,..., хп) Є X ставит в соответствие определяемый ею исход F(x) Є Л. В теоретико-игровой терминологии управляющие подсистемы называются игроками,а множество Хг — множеством стратегий игрока г (г = 1,п). Для задания целевой структуры рассматриваемой задачи принятия решения необходимо задать оценочную функцию ір\% : А -> К для каждого игрока і. Композиция /, = (ргоЕ называется функцией выигрыша игрока г, а число fl(x,..., хп) есть оценка полезности ситуации (х,..., хп) с точки зрения игрока і. Итак, математическая модель данной задачи принятия решения имеет вид Г = (/, (Хг)іе1, Шгеї), (І5"1) где / = {1,. . ., n} — множество игроков, Хг — множество стратегий ,0-рока г, /, : X —»• К — функция выигрыша игрока г. Такая математическая модель называется игрой п лиц в нормальной форме. Формирование ситуации в игре Г состоит в выборе каждым игроком і Є I некоторой стратегии хг Є Хг, при этом возникает ситуация х = (хг)гєі. Полученную ситуацию каждый игрок і; = 1,тг оценивает со своей точки зрения с помощью функции /г; удобно считать, что /г(х) есть величина выигрыша, получаемого игроком г в ситуации х. Таким образом, игра п лиц может рассматриваться как математическая модель совместного принятия решения несколькими сторонами, имеющими несовпадающие интересы. Следует отметить, что при содержательном анализе процедуры совместного принятия решения в игре ті лиц возникают весьма сложные проблемы, связанные с возможной кооперацией игроков, т.е. объединением их в коалиции. Формальный анализ кооперативного аспекта игры требует дополнительных данных, касающихся возможных действий коалиций, их предпочтений, способов обмена ими информацией о принимаемых решениях и т.п. Если в игре создание коалиций запрещается, то она называется бескоалиционной. Бескоалиционная игра является математической моделью децентрализованной системы управления, для которой информационные связи между управляющими подсистемами настолько незначительны, что ими можно пренебречь. Игра Г вида (15.1), в которой п = 2 и множества стратегий игроков конечны, называется биматричной игрой; такая игра может быть задана парой матриц А = \а3г\, В — \b3t\ (і — 1,тг; j = 1,ттг), где А — матрица выигрышей игрока 1 ж В — матрица выигрышей игрока 2. Указанная биматричная игра далее обозначается через Г(^в). Иногда биматричная игра задается одной матрицей формата п х 771, причем элемент, стоящий в г-й строке и j-м столбце этой матрицы должен представлять собой пару вида (а3г, Ъ3), первая компонента которой есть выигрыш игрока 1, а вторая — выигрыш игрока 2 в ситуации (i,j). Отметим, что в биматричной игре выигрыш игрока 1 может не совпадать с проигрышем игрока 2. В случае, когда это обстоятельство имеет место, т.е. когда а3г = —Ъ^ при всех г = 1, п, j — 1, т, Получается матричная игра с платежной матрицей А. Задание матрицы В становится здесь излишним. Замечание. Если в биматричной игре Г(д^) при всех і — j, j — 1, m выполняется равенство aJt +fr? = с, где с — некоторая постоянная то, переходя к биматричной игре Г^д щ по формулам а. = а — с/2 ц Vl = Ь — с/2, получаем игру, эквивалентную первоначальной, которая будет антагонистической. Приведем ряд примеров задач принятия экономических решений, которые моделируются бескоалиционными играми. • Пример 15.1 (производство конкурирующей продукции) Два небольших предприятия общественного питания производят однотипную продукцию, которую затем продают на одном рынке. Каждое предприятие может использовать большую или малую поточную линию. Если оба они используют большую линию, то имеет место перепроизводство продукции, и в результате оба предприятия несут убытки в 9денежных ед. Если одно из предприятий использует большую линию, а другое — малую, то первое предприятие получает прибыль в 5 денежных ед., а второе только покрывает убытки. Наконец, если оба предприятия используют малую линию, то оба они получают одинаковую прибыль в 1 денежную ед. Эта игра также может быть задана парой матриц (А, В), где
А = 1 0 5 -9 В • Пример 15.2 (неантагонистическая конкуренция фирМ-производителей). Рассмотрим ситуацию, описанную в задаче 17, счятая, что теперь целью фирмы В является не разорение фирмы А, а максимизация собственной прибыли. Тогда функция выигрыша Fb фирмы В будет связана с функцией выигрыша FA фирмы А равенством FB(j,i) = FA(i,j). При этом FA(i,j) + FB(i,j) ф const, г е. такая игра не будет антагонистической. Ряд ситуаций совместного принятия экономических решений, математическими моделями которых служат бескоалиционные игры, базируется на следующей общей схеме. Пусть имеется несколько предприятий, которые производят некоторый продукт. Выигрыш (доход) каждого предприятия определяется следующими двумя параметрами: количеством произведенного им продукта и суммарным количеством продукта, произведенного всеми этими предприятиями. (Можно рассматривать двойственную ситуацию, когда предприятия не производят, а потребляют некоторый ресурс.) Рассмотрим два примера таких задач. • Пример 15.3 (конкуренция производителей на однотовар-ном рынке). Имеется п фермеров, производящих одинаковый продукт (например, зерно). Пусть — максимальное количество зерна, которое может произвести фермер і, & Хі — количество зерна, которое он произвел фактически (0 < хг < йц). Доход фермера і может быть представлен в виде сХі, где с — рыночная цена единицы продукта. Как известно, рыночная цена продукта является монотонно убывающей функцией от его общего количества; можно считать, например, что при фиксировании всех остальных параметров, определяющих цену, с = k/y/xi + ■ ■ ■ + хп (см. [18]). Тогда доход фермера г будет выражаться функцией fi(x,..., хп) = , В результате получаем бескоалиционную игру п игроков (фермеров), в которой множеством стратегий игрока і является интервал [0, ai], а функция выигрыша в ситуации (хі,. . . ,хп) есть Л(#1, ..., хп). В этом примере наглядно проявляется отличие теоретико-игровой задачи от оптимизационной. Так, если бы фермеры сдавали зерно по фиксированной цене с, то решение оптимизационной задачи — задачи максимизации дохода всех фермеров — было бы тривиальным: х* — ai. Однако в уловиях рыночного ценообразования необходим теоретико-игровой подход, учитывающий не только действия данного игрока, но также и действия всех остальных игроков. Ясно, что оптимальное решение оптимизационной задачи х* = ai не будет оптимальным при теоретико-игровом подходе: Перепроизводство продуктов снизит цену, и доход фермеров упадет. • Пример 15.4 (штраф за загрязнение окружающей сред^л В районе имеется п промышленных предприятий, каждое из Ко торых является источником загрязнения атмосферы. Пусть хг величина выброса для г-го предприятия. Концентрация вредныу п * примесей может быть рассчитана по формуле q = VJ с,жг, Где г = 1 с,...,сп — некоторые постоянные. За загрязнение окружающей среды каждое предприятие платит штраф, величина которого для г-го предприятия пропорциональна доле, которую оно «вкладывает» в показатель q, т.е. величина штрафа находится по формуле ft(xi,..., хп) = + х q, где к — константа. В результате получаем бескоалиционную игру п игроков, в которой функция выигрыша (здесь фуНКЦИЯ ПОТерь) ЄСТЬ /г(жі, . . . , Хп). Можно рассматривать также различные видоизменения функции штрафа (см. [44]), учитывающие дополнительные факторы (например, резкое увеличение штрафа, если показатель q превышает некоторое пороговое значение — величину предельно допустимой концентрации). 2. Важнейшим принципом оптимальности для класса бескоалиционных игр п лиц является принцип равновесия. Он вводится следующим образом. Определение. Пусть Г — (/, (Хг)гЄ/, (/г)гє/) — игра п лиц, заданная в нормальной форме. Ситуация х° = (х®,..., ж°) Є X называется ситуацией равновесия в игре Г (равновесием в смысле Нэша), если для всех і Є /, хг Є Хг выполняется условие /г(х°\хг) < /,(*°). (15.2) Пояснение. Через ос01| ос, обозначается ситуация, полученная из ситуации а;0 заменой ее г-й компоненты х® на стратегию xt. Таким образом, а;01|ж, есть ситуация, возникающая при одностороннем отклонении игрока г от ситуации а;0. В бескоалиционной игре'всякая ситуация равновесия является устойчивой: если такая ситуация сложилась, то она не будет иметь оснований для разрушения, так как ни один из игроков не заинтересован в одностороннем отклонении от нее. И обратно, если ситуация не является равновесной, то, как следует из определения, найдется хотя бы один игрок, заинтересованный в одностороннем отклонении от этой ситуации, поэтому такая ситуация имеет тенденцию к разрушению. Если игроки заключают между собой договор — придерживаться равновесной ситуации, — то такой договор будет устойчивым, Причем его устойчивость базируется не на административных запретах или этических правилах, а исключительно на собственных ййТересах каждого игрока. В примере 15.1 имеются две равновесные ситуации: (М, Б) „ (f>, М). Из табл. 15.1 видно, что при одностороннем отклне-цйй от этих ситуаций отклонившийся игрок проигрывает. Например, если в ситуации (М, Б) игрок 1 заменит свою стратегию М на Б, то возникнет ситуация (Б, Б), в которой он терпит убытки в 9денежных ед.; если же от ситуации (М, Б) отклоняется игрок 2, то его выигрыш уменьшается с 5 до 1 денежных ед. Замечания. 1. Ситуация равновесия по Нэшу является устойчивой относительно односторонних отклонений игроков (так как отклонившийся игрок «наказывается» уменьшением своего выигрыша). Однако, если, например, в биматричной игре от ситуации равновесия отклонятся оба игрока, то может возникнуть ситуация, в которой их выигрыши увеличатся. Еще больше картина усложняется при переходе к игре п лиц, где п > 2. В такой игре существуют нетривиальные коалиции, т е. коалиции, содержащие более одного игрока и отличные от коалиции всех игроков В игре п лиц может иметься нетривиальная коалиция S С / такая, что при переходе от ситуации равновесия х° к некоторой ситуации а;1 выигрыши всех игроков из S увеличиваются, причем игроки коалиции 5 могут «своими силами» преобразовать ситуацию х° в ситуацию xі. В этом случае ситуация а:0, будучи устойчивой относительно отклонений отдельных игроков, имеет реальные основания быть «разрушенной» коалицией S, заинтересованной в переходе от х кі'и имеющей возможность этот переход осуществить. Однако следует иметь в виду, что для преобразования ситуации а:0 в ситуацию а:1 игроки коалиции S должны об этом договориться, что возможно лишь при обмене информацией между ними. Если такая возможность отсутствует (или запрещена), то угрозы разрушения ситуации а:0 со стороны коалиции S не возникает Поэтому принцип равновесия по Нэшу является особенно важным для бескоалиционных игр, в которых решения о выборе стратегий принимаются игроками независимо без взаимной договоренности 2. Для биматричной игры Г(а,в) ситуация (го, Jo) является ситуацией Равновесия по Нэшу тогда и только тогда, когда при всех г = 1,п, J = 1,т выполняеются неравенства а10 < а3,0, V < bJ° (15 3) г — г0 ' го — го / В частном случае, когда биматричная игра является матричной (т е когда b3t = —а3г), второе из неравенств (15.3) принимает вид a3t° < Qj и в результате приходим к двойному неравенству а30 < а30 < аз'' которое означает, что ситуация (го,Jo) есть седловая точка в nrpf с платежной матрицей А. Таким образом, принцип равновесия мозкио рассматривать как обобщение принципа седловой точки при переходу от класса матричных игр к более широкому классу биматричных игр Укажем некоторые особенности ситуаций равновесия в биматричных играх по сравнению с седловыии точками в матричных играх (см. лекцию 13, п. 2). В матричной игре исход в седловой точке равен цене игры, поэтому во всех седловых точках выигрыши игрока одни и те же. В биматричных играх аналогичное свойство для ситуаций равновесия не имеет места. Так, в примере 15.1 для игрока 1 его выигрыши в ситуациях равновесия (М, Б) и (Б, М) различны. В матричной игре множество седловых точек является прямоугольным. В биматричной игре множество ситуаций равновесия может не быть прямоугольным. Так, в примере (15.1) ситуации (Б, М) и (М, Б) являются ситуациями равновесия, однако ситуация (£, Б), составленная из первой компоненнты одной из них и второй компоненты другой, не будет ситуацией равновесия. В матричной игре стратегия, являющаяся компонентой седловой точки, гарантирует соответствующему игроку его наибольший гарантированный исход. В биматричных играх это условие может не выполняться. В примере 15.1 стратегия Б, являющаяся первой компонентой ситуации равновесия (Б, М), не гарантируют игроку 1 его наибольшего гарантированного результата (т.е. его максимина), равного здесь нулю. Указанные негативные свойства ситуаций равновесия по срав-неннию с седловыми точками обусловлены тем, что в биматричных играх нельзя ввести «хорошего» понятия оптимальной стратегии игрока, т.е. такого, которое было бы согласовано с понятием оптимальной ситуации (если оптимальность понимать в форме равновесия). Таким образом, в биматричных играх есть понятие оптимального совместного решения игроков (в форме ситуации равновесия), но нет понятия оптимального индивидуального решения игрока. 3. Перейдем теперь к вопросу реализуемости принципа равновесия для класса биматричных игр, т.е. к вопросу существования в них ситуаций равновесия. Так как матричная игра является частным случаем биматричной, причем ситуации равновесия в этом случае «превращаются» в седловые точки, то вопрос сущестд0вания в любой биматричной игре ситуации равновесия в чистых ^ратегиях решается сразу отрицательным образом (так как даже fle всякая матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях)- Однако при переходе к смешанным стратегиям данный вопрос решается положительно, и это обстоятельно является одним 0 важнейших результатов теории игр п лиц. Построение смешан-його расширения биматричной игры в принципе не отличается от соответствующей конструкции для матричных игр и проводится следующим образом. Пусть Г(дв) — биматричная игра с матрицами выигрышей А я В формата п х га; будем считать, что множеством чистых стра- тегий игрока 1 является {1,...,тг} и множеством чистых стра- тегий игрока 2 является {1,...,га}. Под смешанной стратегией игрока 1 в игре Т(А,В) понимается любой вероятностный вектор х — (х,..., хп) Є Sn, а под смешанной стратегией игрока 2 — любой вероятностный вектор у = (уі,---,Ут) Є Sm. Если игрок 1 использует смешанную стратегию х, а игрок 2 — смешанную стра- тегию у, то в силу независимости соответствующих распределений, вероятность появления ситуации равна произведению хгу3 и в этой ситуации игрок 1 получает выигрыш а, а игрок 2 — выигрыш Ь31. Таким образом, в ситуации в смешанных стратегиях (х, у) исходом для первого игрока будет случайная величина t\ = ХіУу j ( b> а для игрока 2 — случайная величина £2=1 1 При построении смешанного расширения игры Т(а,В) в качестве выигрышей игроков 1 и 2 берутся математические ожидания этих случайных величин:
FA(x,y)= (ХгУзК, FB{x,y)= (ХгУ])К- (15'4) г=1,п г=1,тг j — l,m j=l,jn В результате получается новая игра игроков 1 и 2, в которой Множествами их стратегий будут множества вероятностных век-Торов Sn и Sm соответственно, а функции выигрыша игроков определяются равенствами (15.4). Построенная игра называется смешанным расширением игры Г(А<в) и обозначается через Г^.в). Поскольку стратегии и ситуации игры Г(дв) имеют естественную интерпретацию в игре Г^д), обычно говорят, что векторы х є s у Є Sm являются смешанными стратегиями в игре Г(дв), (х,у) ситуацией в смешанных стратегиях в игре Г(А щ, а значения фуй1с ций выигрыша FA(x, у) и Fe{x,y) — выигрышами игроков 1 и в ситуации (х, у) в смешанных стратегиях в игре Т^а,В)- Сформулируем теперь теорему, обеспечивающую реализуе мость принципа равновесия в смешанных стратегиях для класса биматричных игр. Теорема 15.1 (теорема Нэша). Всякая биматричная игра име-em ситуацию равновесия в сметанных стратегиях. Заметим, прежде всего, что ситуация (ж0, у0) Є Sn х Sm является ситуацией равновесия в смешанных стратегиях тогда и только тогда, когда при любых i£ Sn, у Є Sm выполняется FA(x,y0) Доказательство того, что в любой биматричной игре имеется
ситуация равновесия в смешанных стратегиях, впервые дал американский математик
Джон Нэш в 1951г. Идея доказательства чрезвычайно проста и состоит в
применении теоремы Брауэра о неподвижной точке. Воспроизведем кратко метод
доказательства. Пусть S(„,m) = 5„ X Sm — множество ситуаций в смешанных
стратегиях в игре Г^а,в) ■ Определим отображение Т : 5(„im) —> S(n^m)
следующим образом. Для произвольной ситуации [х,у) Є 5(Піт) рассмотрим числа 5г,а3
(i = 1,п; j = l,m), где дг = max{FA(i,y) - FA(x,y),0}, (15.6) ffj = max.{FB{x,j) - FB(x,y),0}. Числа Si и o-j имеют прозрачный теоретико-игровой смысл: Si
есть выгода, которую получает в ситуации (х, у) игрок 1 при замене смешанной
стратегии х чистой стратегией і в случае, когда эта выгода имеется (т.е. когда
FA(i, у) — FA(x,y) > 0), и 0 — в противном случае. Аналогично интерпретируются
числа <7j. Далее положим / _ Xj + Sj , _ yj + ffj Xi — „ > У} — m • )t=i »=i 1 ЯСНО, ЧТО Векторы Х = (х'і, . . . ,x'n) И у' = (y'l,
■ ■ ■ ,y'm) ЯВЛЯЮТСЯ верОЯТ- ностными векторами, т.е. х' Є Sn и у' £ Sm. Полагаем
Т(х,у) = (а/,у ) Т есть преобразование множества 5(„ т) в себя. Легко
проверить, что это преобразование непрерывно. Замечая, что 5(П т) является
выпуклым компактным подмножеством арифметического пространства К"+,п>
лучаем, что выполнены все предположения теоремы Брауэра о непо-цжной точке.
Следовательно, согласно теореме Брауэра, у преобразовала Т существует хотя бы
одна неподвижная точка. Нетрудно убедиться, чТо неподвижными точками
преобразования Т являются ситуации рав-я0Весия в смешанных стратегиях игры Г(д
в) и только они. Замечание. Так как доказательство теоремы Нэша основано на
тереме Брауэра, оно является чистым доказательством существования и ge дает
метода нахождения ситуаций равновесия. Несмотря на это, установленный в
теореме Нэша результат имеет принципиальное значение, так как он «подводит
фундамент» под важнейший принцип оптимальности — принцип равновесия. 4. Равновесие по Нэшу базируется на идее устойчивости ситуации
относительно отклонений от нее отдельных игроков. Однако, ситуация равновесия
по Нэшу может не обладать устойчивостью относительно возможных отклонений от
нее со стороны некоторых коалиций игроков (см. п. 2, замечание 1). Сформулируем
общее понятие устойчивости ситуации в игре п лиц, которое основано на
отсутствии угрозы отклонений как со стороны отдельных игроков, так и со стороны
коалиций. Рассмотрим вначале формулировку общего понятия устойчивости
для задачи принятия решения в рамках системного описания. Пусть / — множество
управляющих подсистем (игроков), воздействующих на некоторую управляемую
систему, и Л — множество ее состояний. Всякое непустое подмножество S С I
называется коалицией. Будем предполагать, что для каждой коалиции S С I задано
отношение достижимости 5s, характеризующее возможности коалиции S по изменению
состояний системы, и отношение предпочтения ш$, указывающее предпочтения
коалиции 5* на множестве состояний системы. Формально отношение достижимости Ss коалиции S есть бинарное
отношение на множестве состояний системы А, причем условие (аі, а2) Є Ss
означает, что коалиция 5* может собственными силами (без участия игроков, не
входящих в коалицию 5"), перевести систему из состояния cl в состояние а2.
Через 6s(а) обозначим множество всех а' Є А, для которых (а, а') Є Ss- Отношение предпочтения коалиции S есть бинарное отношение
u>s на множестве состояний А, причем условие a' >~ШБ а означает, что
состояние а' является для коалиции S более пред-Почтительным (в строгом
смысле), чем состояние а. Набор объекта вида G = (/, A, (Ss)sci, (us)sci) (15.7) будем называть коалиционной структурой над множество^
игроков /. Сформулируем теперь основное понятие. Пусть К. ~-некоторое
фиксированное семейство коалиций игроков /. Определение. Состояние а* Є А называется К.-устойчи. вым,
если для любой коалиции S Є /С в множестве 6s(а*) не существует состояния,
которое является более предпочтительным для коалиции S, чем состояние а*. Формально: состояние а* является /С-устойчивым, если не су-
ществует такого состояния а' Є А, что а' а* и (а*, а') Є 3$,
где S Є 1С. Поясним содержание понятия ^-устойчивости. Пусть система
находится в состоянии а*. Рассмотрим произвольную коалицию S С I. Коалиция S
будет стремиться перевести систему из состояния а* в некоторое другое
состояние а' Є А в том случае, если, во-первых, состояние а' для коалиции S
более предпочтительно, чем состояние а* (т.е. a' yws а*), и, во-вторых,
коалиция 5* может собственными силами осуществить переход из состояния а* в
состояние а' (т.е. (а*,а') Є 6s). На содержательном уровне соединение условий
а' УШБ а* и (а*, а') Є 6s соответствует соединению «желаний и возможностей»
коалиции S. /С-устойчивость состояния а* означает, что в этом состоянии ни для
одной коалиции S Є /С такое соединение «желаний и возможностей» по переходу из
а* в а' не имеет места. Таким образом, если система находится в состоянии а*,
то ни одна из коалиций S Є /С не будет стремиться перевести систему в некоторое
другое состояние. Другими словами, в К,-устойчивом состоянии а* не возникает
угрозы со стороны коалиций S € 1С по разрушению этого состояния. Рассмотрим теперь три наиболее важных конкретизации понятия
/С-устойчивости. Семейство 1С состоит из всех одноэлементных коалиций: К. — {{г}
: і Є /}. Тогда /С-устойчивость состояния а* означает его устойчивость
относительно отклонений отдельных игроков и представляет собой равновесие в
смысле Нэша. Семейство коалиций /С состоит из единственной коалиций всех
игроков: К. — {/}. В этом случае /С-устойчивость состояния а* означает
отсутствие такого состояния а' Є А, которое было бы gojiee предпочтительным, чем состояние а* для коалиции /
всех игроков; это есть оптимальность по Парето. 3) Семейство К, состоит из всех непустых коалиций:
£={5: 0 ^ S С /}. В этом случае /С-устойчивость называет-■g сильным
равновесием. В состоянии сильного равновесия «баланс интересов и возможностей»
реализуется сразу для всех коалиций игры. Поэтому ни от здной коалиции не будет
исходить угрозы разрушения этого состояния. Сильное равновесие является
наиболее бесспорным принципом оптимальности для класса игр п лиц, но, к
сожалению, реализуется оно весьма редко. Переформулируем теперь рассмотренные выше понятия
/С-устойчивости для игры Г, заданной в нормальной форме (15.1). В этом случае
множество X = \ Хі ситуаций игры Г рассматри- ієі вается как множество состояний системы. Посмотрим, какой вид
в данной модели приобретает отношение достижимости и отношение предпочтения
коалиций. а) Отношение достижимости 5s коалиции S
характеризует воз-
можности коалиции S по «преобразованию» одних ситуаций игры
в другие. Если игроки коалиции S действуют совместно, то они
могут договориться о выборе любого набора стратегий где
х{ є Х{. Будем обозначать такие наборы через xs, а множество всех
таких наборов (т.е. Г] Хг) рассматривать как множество стра- ieS тегий коалиции S. Через x0||a;s обозначим ситуацию игры
(15.1), которая получается из ситуации х° заменой тех ее компонент, которые
соответствуют игрокам из 5, на соответствующие компоненты стратегии xs- Итак,
если игроки коалиции S действуют совместно, то они в состоянии преобразовать
произвольную ситуацию х° Є X в ситуацию вида х°||х5, где xs Є f| Хі. Получаем,
что в рассмат- риваемом случае Ss(x°) = {x°\xs : ^єДі,}. (15.8) ieS б) Отношение предпочтения uis коалиции S в данном
слу-
чае может быть «построено» из отношений предпочтения игроков,
составляющих коалицию 5*. Наиболее естественный способ такого
Построения основан на отношении доминирования по Парето (см.
Лекцию 5). Будем считать, что ситуация х1 является более пред-
почтительной для коалиции S, чем ситуация х2, если для каждого р°зен в.в. 225 і Є S выполнено неравенство fi(xl) > ft(x2), причем хотя
бы одного г Є о неравенство должно выполняться как строгое: х1^!2 Л(хг)>Л(^2) (15.9 Рассмотрим теперь некоторые конкретизации понятия
/С-устойчивости для случая игры Г вида (15.1). Пусть /С состоит из всех одноэлементных коалиций. Тогда
М-устойчивость ситуации х° в игре Г означает, что для каждого г Є I ни в одной
ситуации х°||хг, где хг Є 1„ не имеет места неравенство /г(х°\хг) > Л (я0),
т.е. ft(x°\xt) < ft(x°). Это условие есть, в точности, равновесие по Нэшу
для игры Г (см. п. 2). Пусть /С состоит из единственной коалиции всех игроков Тогда
условие /С-устойчивости ситуации х° сводится к тому, что не существует такой
ситуации х1 Є X, для которой при всех і є / выполняется неравенство fi(xl) >
/г(х°), причем хотя бы одно неравенство является строгим. Указанное условие
есть условие Парето-оптимальности (см. лекцию 5) ситуации х° в множестве X всех
ситуаций игры Г (в качестве оценочной функции критерия г = 1,тг здесь выступает
функция выигрыша игрока г). Пусть К. состоит из всех коалиций игры Г. Тогда условие
М-устойчивости ситуации х° состоит в том, что для любой коалиции S С / не
существует такой стратегии щ£ Г] Хг, при которой для всех г Є 5 имеет место неравенство /г(ж0j|ars) > Л
(я0), причем хотя бы для одного индекса г Є S неравенство должно быть строгим.
Таким образом, сильная устойчивость ситуации х° в игре Г означает отсутствие
такой коалиции S С 7, которая могла бы преобразовать ситуацию х° в какую-либо
другую при единогласной заинтересованности в этом всех своих членов. 5. Задача 20. Задача распределения ресурсов. Предположим, что имеется п предприятий, каждое из которых
потребляет т видов ресурсов. Вектор с неотрицательными компонентами хг =
(х,..., х™) рассматривается как вектор ресурсов, потребляемых г-м предприятием
(г = 1,^). Предполагаем далее, что для каждого і = 1, п задана функция /г(хг),
которая оценивает эффективность г-го предприятия при условии, что оно
потребляет ресурсный вектор хг (например, в качестве /г можно рассматривать
производственную функцию, см. задачу 2). Имеется два варианта задачи распределения ресурсов,
соответ-сТВуЮіиих централизованному и децентрализованному распределению-
Рассмотрим оба эти варианта. Вариант 1 (задача централизованного распределения ресурсов)-
Здесь предполагается, что управляющий орган (центр) об-лаДает некоторым запасом
ресурсов, который задается вектором j, = (б1,. • •, Ьт), где Ь3 — запас ресурса
типа j. Пусть Т> — множес- п твовсех наборов ресурсных векторов (xi,. .., хп),
причем Хг = Ь 1=1 ^неравенство понимается как покомпонентное). Вектор хг
инте-дретируется как ресурсный вектор, выделенный центром г'-му предприятию.
Каждому набору (х,... ,хп) Є Т> соответствует вектор эффективностей
(fi(xi),..., fn(xn)). В результате получаем задачу многокритериальной
оптимизации (см. лекцию 5), в которой V — множество альтернатив, /, — оценочная
функция по критерию і = 1, п. Оптимальное решение такой задачи ищется в множестве
ее Парето-оптимальных альтернатив. При некоторых ограничениях на область
допустимых альтернатив Т> задача нахождения Парето-оптимальных альтернатив
может быть сведена к задаче на- n хождения максимума обобщенного критерия / = ^2 atfi, где аг
> О i=i (см. лекцию 5). Рассмотрим более подробно вариант децентрализованного распределения
ресурсов. Вариант 2 (задача перераспределения ресурсов). В этом случае
предполагается, что каждое предприятие і = 1,тг обладает начальным запасом
ресурсов, задаваемым вектором хг = (х,. .., х™). Предприятие может продавать
принадлежащие ему ресурсы, а также покупать любые ресурсы по установленным
ценам при единственном ограничении: общая стоимость покупаемых ресурсов не
Должна превышать общей стоимости начального запаса ресурсов этого предприятия.
Пусть р = (р1,.. . ,рт) — вектор цен, где р> — стоимость единицы ресурса
j-ro типа (j = l,m). Если предприятие і покупает ресурсный вектор хг = (х,..
., х™), то общая стоимость покупки есть р1х + ■ ■ • + ртх^г; она
представляется в виде скалярного произведения (р, хг). Аналогично, стоимость
начального запаса ресурсов предприятия і равна (р, хг) и указанное выше
ограничение принимает вид (р,хг)<(р,Хі). (15.10) 8* 227 Условие (15.10) называется условием платежеспособности
спроса при векторе цен р. Определение. Набор (х*,..., где х* — ресурсный век тор предприятия і = 1,тг, а р* — вектор цен, называет^
состоянием экономического равновесия, если выполняющСа следующие два условия. При каждом і - 1,тг ресурсный вектор х* максимизируй функцию
эффективности предприятия і по множеству всех ре. сурсных векторов этого
предприятия, находящихся в пределах его платежеспособного спроса по ценам р*: Л«) = тах{/г(а;г) : (р*, хг) < (p*,xt)}. (15.11) Общий объем потребляемых ресурсов каждого типа не
превосходит его первоначального запаса: < х, (15.12) где х* = ^2 х*, х = ^2 хг {неравенство (15.12) понимается
как г = 1 г=1 покомпонентное). Рассмотрим теперь игру Гп+і игроков 1,..., п, п + 1, в
которой первыми п игроками являются предприятия, а в качестве (тг+ 1)-го игрока
выступает ценообразующий орган. В этой игре стратегиями каждого предприятия
являются его ресурсные векторы, а стратегиями ценообразующего органа — векторы
цен. Ситуациями игры Гп+і считаются такие наборы (х,. .., хп,р), в которых
каждый вектор хг является ресурсным вектором предприятия г, удовлетворяющим
условию платежеспособности спроса при векторе цен р Цель игрока і состоит в
максимизации функции эффективности /, (г = 1,п), а цель игрока (п + 1) — в
минимизации взвешенного дисбаланса, т.е. в минимизации функции n п fn + l{xi,...,Xn,p) ~ (p,^Txt - 5ZXt) = (Р>Х~ Х)- i=l t = l Покажем, что экономическое равновесие можно представить как
равновесие по Нэшу в игре Г„+і. Действительно, пусть (xi,. ■ ■ ,
хп, р) — ситуация равновесия по Нэшу в игре Гп+1. Тогда при каждом г = 1,п для
всех ресурсных векторов хг, удовлетворяющих условию (р, хг) < (р,хг),
выполняется неравенство /,(*,) < /,(£,), (I5-13) а для игрока п + 1 при
произвольном векторе цен р имеет место ^равенство (р, х — х) > (р, х - х). (15.14) Убедимся, что набор {х,...,хп,р) является состоянием экономического
равновесия. Неравенства (15.13) означают, что при каждом і = 1,п ресурсный
вектор хг максимизирует функцию эффективности предприятия г по множеству всех
ресурсных векторов, находящихся в пределах его платежеспособного спроса по
ценам р. Таким образом, условие 1) выполнено. Проверим условие 2). Так как
набор (її,..., хп,р) является ситуацией в игре Гп+і, то при всех j = 1,п
выполнено условие платежеспособности: (р, хг) < (р,хг). Суммируя эти
неравенства по і = l,n и используя линей- ность скалярного произведения, получаем (р, ]Г хг — ]Г хЛ
< О, ^ i=l г=1 ' т.е. (р, х, — х) < 0. Учитывая неравенство (15.14), имеем
(р, х — х) < 0. Так как вектор цен р произволен, то отсюда следует, что х ^
х, и условие 2) проверено. Итак, всякая ситуация равновесия по Нэшу игры Гп+і
является экономическим равновесием. Обратно, пусть (х*,..., х*п, р*) — состояние экономического
равновесия. В силу (15.11), получаем, что в состоянии экономического
равновесия отклонение игрока і = 1,п от стратегии х* приводит к уменьшению его
выигрыша. Остается установить уменьшение (точнее, неувеличение) выигрыша игрока
п + 1 при его одностороннем отклонении от стратегии р*. Будем предполагать,
что функции эффективности /г (г = 1,п) являются строго монотонно возрастающими
(т.е. из уг >Раг хг следует /г{уг) > /і(хг))- Тогда в состоянии
экономического равновесия не может быть «недопотребления n n ресурсов», откуда x* = хч т-е- х* = х- ^ этом
случае по 1=1 г=1 каждому виду ресурсов дисбаланс равен нулю, поэтому и
взвешенный дисбаланс также будет равен нулю при любом выборе вектора Цен.
Отсюда следует, что в ситуации (х,..., х*,р*) замена вектора Цен р* другим
вектором цен не изменит (значит, и не уменьшит) взвешенный дисбаланс. Итак, в предположении строгой монотонности функций эффективности
/г (г = 1,п) справедлив следующий результат. Множес-пво состояний экономического
равновесия совпадает с множеством ситуаций равновесия по Нэшу в игре с
добавленным участ-н^ком, минимизирующим взвешенный дисбаланс. |
| Оглавление| |
- Акмеология
- Анатомия
- Аудит
- Банковское дело
- БЖД
- Бизнес
- Биология
- Бухгалтерский учет
- География
- Грамматика
- Делопроизводство
- Демография
- Естествознание
- Журналистика
- Иностранные языки
- Информатика
- История
- Коммуникация
- Конфликтология
- Криминалогия
- Культурология
- Лингвистика
- Литература
- Логика
- Маркетинг
- Медицина
- Менеджмент
- Метрология
- Педагогика
- Политология
- Право
- Промышленность
- Психология
- Реклама
- Религиоведение
- Социология
- Статистика
- Страхование
- Счетоводство
- Туризм
- Физика
- Филология
- Философия
- Финансы
- Химия
- Экология
- Экономика
- Эстетика
- Этика
Лучшие книги
Гражданский процесс: Вопросы и ответы
ЗАПАДНОЕВРОПЕЙСКОЕ ИСКУССТВО от ДЖОТТО до РЕМБРАНДТА
Коммуникации стратегического маркетинга
Консультации по английской грамматике: В помощь учителю иностранного языка.
Международные экономические отношения