Название: Математические модели принятия решений в экономике - Розен В. В. Жанр: Экономика Рейтинг: Просмотров: 903 |
Лекция 2. экстремум функций одной переменной
• Этапы исследования ЗПР в условиях определенности. • Основные теоремы об жстремумаї и методы нахождения экстремумов функции одной переменной • Задача 1. Задача об оптимальном размере закупаемой партии товара. 1. Как отмечено в лекции 1, при принятии решения в условиях определенности состояние среды является фиксированным и оно известно принимающему решение. В этом случае исход однозначно определяется выбором альтернативы, поэтому выбор альтернативы здесь эквивалентен выбору исхода. Следовательно: а) альтернативы и исходы могут быть отождествлены (X = А); б) целевая функция / становится функцией только перемен- ной х. Итак, первый этап исследования ЗПР в условиях определенности — построение математической модели — сводится здесь к указанию множества допустимых альтернатив X и заданию целевой функции /: X —> R. Второй этап состоит во введении понятия оптимального решения и нахождении оптимальных решений. Так как в рассматриваемом случае число f(x) представляет собой оценку «полезности» альтернативы х (с точки зрения принимающего решение), то на множестве X допустимых альтернатив естественным образом возникает отношение нестрогого предпочтения £3: альтернатива х считается не менее предпочтительной, чем альтернатива x-i, если полезность альтернативы Х не меньше, чем полезность альтернативы Х2'- J-ifcara f(xi)>f(x2). (2.1) В этом случае представляется разумной единственная концепция оптимальности, когда оптимальной считается та допустимая альтернатива х* Є X, которая является не менее предпочтительной, чем любая другая допустимая альтернатива х Є X; в терминах целевой функции это означает, что оптимальная альтернатива должна доставлять максимум [наибольшее значение) целевой функции. Замечание Если целевая функция / в некоторой ЗПР рассматривается как функция потерь, то при задании отношения предпочтения на множестве X надо в формуле (2 1) знак неравенства в правой части изменить на противоположный, в этом случае оптимальной будет та допустимая альтернатива, которая доставляет минимум (наименьшее значение) функции потерь Таким образом, исследование математической модели ЗПР в условиях определенности сводится к трем шагам: указанию множества X допустимых альтернатив; заданию целевой функции / : X —» R; нахождению максимума или минимума функции /. 2. При рассмотрении математических моделей ЗПР возникают два основных вопроса: Существует ли оптимальное решение! Если оптимальное решение существует, то как его найти! Для ЗПР в условиях определенности все сводится к нахождению максимума или минимума целевой функции. В случае, когда множество X допустимых альтернатив конечно, обе проблемы легко разрешимы. Ответ на первый вопрос всегда утвердительный (так как в конечном множестве М = {/{х) : х Є X} всегда есть наименьший и наибольший элементы). Что касается ответа на второй вопрос, то существует тривиальный алгоритм нахождения оптимального решения — перебор элементов множества М с отбрасыванием на каждом шаге меньшего элемента (при нахождении максимума). Здесь могут возникнуть сложности технического характера, связанные с «обширностью» множества М. Рассмотрим теперь случай, когда множество допустимых альтернатив бесконечно. Здесь ответы на вопросы (1) и (2) зависят от структуры множества допустимых альтернатив и от свойств целевой функции. В приложениях, в том числе экономического характера, множество допустимых альтернатив, как правило, состоит из чисел или наборов чисел, т.е. представляет собой некоторую область V С R или Р С I™. Остановимся на случае, когда Х> С R Случай Т> С К", где п > 1, рассмотрен в лекции 3. Тогда целевая функция / : Т> —^ К есть числовая функция, заданная на числовом множестве Х>, и задача нахождения оптимального решения превращается в классическую задачу нахождения экстремума функции одной переменной в некоторой допустимой области. Рассмотрим эту задачу в общем виде. Напомним, что экстремумы бывают двух типов: глобальные и локальные. Определение. Пусть задана функция f: D —> R. Точка х* Є V называется точкой глобального максимума (глобального минимума) функции f, если для всех х Є Х> выполняется неравенство f(x) < f(x*) {соответственно f(x) > f(x*)). Принципиальным результатом, дающим условия, гарантирующие существование глобальных экстремумов, является классическая теорема математического анализа — теорема Вейер-ш трасса, которая утверждает, что всякая непрерывная функция, заданная на замкнутом интервале [а, Ь, достигает на этом интервале как глобального максимума, так и глобального минимума. Итак, для важного класса ЗПР в условиях определенности, когда целевая функция задана на замкнутом интервале и непрерывна на нем, ответ на вопрос (1) оказывается утвердительным (заметим, что условие непрерывности целевой функции / не является «обременительным», так как для экономических задач оно обычно выполнено). Однако теорема Вейерштрасса бесполезна в плане нахождения глобальных экстремумов, т.е. для решения вопроса (2). В математике методы нахождения глобальных экстремумов функции детально исследованы для дифференцируемых функций и основаны на связи между глобальными и локальными экстремумами. Определение. Пусть задана функция f: V —> R. Говорят, что в точке Xq Є D функция f имеет локальный максимум, если существует открытый интервал, содержащий точку Хо и целиком содержащийся в Т> такой, что в пределах этого интервала функция f имеет наибольшее значение в точке xq
Если поменять знак последнего неравенства, то получим определение локального минимума. Различие между локальным и глобальным экстремумом видно из рис. 2.1. Здесь Хз — единственная точка глобального максимума, {хі, хз, х^) — точки локального максимума, х^ — единственная точка глобального минимума, {х2,Хі} — точки локального минимума. Рассмотрим теперь способы нахождения экстремумов дифференцируемой функции /, заданной на замкнутом интервале [а, Ь]. Основной принцип: если х — точка локального экстремума дифференцируемой функции f, то ее производная в этой точке равна нулю: f (х) = 0 (геометрически это означает, что касательная, проведенная к графику функции / в соответствующей точке, параллельна оси Ох (см. рис. 2.1). Точка, в которой производная функции равна нулю, называется стационарной; через St / будем обозначать множество всех стационарных точек функции /. Приведенный выше основной принцип можно теперь сформулировать следующим образом: для дифференцируемой функции / множество точек локального экстремума содержится в множестве ее стационарных точек. Далее, очевидно, что если х0 — точка глобального экстремума, являющаяся внутренней точкой интервала [а,Ь], то х0 также будет точкой локального экстремума и, в силу основного принципа, является стационарной точкой.
1 п
Однако глобальный экстремум — в отличие от локального — может достигаться не только во внутренней точке замкнутого интервала [а, Ь], но и на его границе (т.е. в точке о или Ь) (рис. 2.2). Учитывая это обстоятельство, окончательно получаем следующее правило. Правило 2.1. Для дифференцируемой функции f(x), заданной на замкнутом интервале [а,Ь], точки глобального экстремума содержатся во множестве критических точек Kr/= St/U{a,b}, являющемся объединением множества стационарных точек функции f и концов интервала [а,Ь]. Основанный на правиле 2.1 метод нахождения точек глобального экстремума дифференцируемой функции /, заданной на отрезке [а,Ь], состоит в следующем: во-первых, следует найти множество всех критических точек функции / и, во-вторых, сравнить значения функции / во всех ее критических точках. Та критическая точка х*, в которой значение функции / оказалось наибольшим, будет точкой глобального максимума, а критическая точка х°, в которой значение функции / оказалось наименьшим, — точкой глобального минимума. 3. В качестве примера построения и исследования математической модели принятия решения в условиях определенности рассмотрим следующую задачу. Задача 1 (об оптимальном размере закупаемой партии товара). Фирма закупает некоторый товар в течение планового периода партиями одинаковой величины, при этом закупленный товар расходуется с постоянной скоростью. Как только запас товара кончается закупается следующая партия и т.д. Неизрасходованный товар фирма сдает на склад за определенную плату. Предполагаются известными следующие данные: Q — требуемое количество товара на плановый период; Со — стоимость единицы товара; Cl — стоимость заказа одной партии товара (считается, что стоимость заказа не зависит от величины заказываемой партии); С2 — стоимость хранения единицы товара в течение планового периода (считается, что стоимость хранения товара пропорциональна его количеству и времени хранения). Требуется определить оптимальный размер закупаемой партии товара (т.е. такой, при котором суммарные затраты фирмы будут минимальными). Решение. В соответствии с методикой, изложенной в п. 4 лекции 1, необходимо реализовать три этапа. Этап 1. Построение математической модели ЗПР. Здесь этот этап сводится к нахождению функции суммарных затрат в зависимости от величины заказываемой партии товара. Пусть х — величина заказываемой партии товара (по смыслу должно выполняться условие 0 < х < Q, т.е. V = (О, Q}). Затраты фирмы состоят из трех частей: (а) Затраты на покупку товара. Они равны cqQ и не зависят от величины заказываемой партии товара. (/3) Затраты на заказы в течение планового периода. Число заказов равно Q/x (точнее, Q/x, если это число оказывается целым, и [Q/x] + 1 — в противном случае; в рассматриваемой модели этим обстоятельством мы пренебрегаем). Отсюда суммарная стоимость заказов в течение планового периода равна cQ/x. (7) Затраты на хранение товара. Стоимость подсчета затрат на хранение товара осложняется тем, что в рассматриваемом случае количество хранимого товара является не постоянным, а переменным. Поскольку задача подсчета стоимости хранения переменного количества товара имеет самостоятельный интерес, рассмотрим решение этой задачи в общем виде. Итак, пусть количество товара, хранимого в течение некоторого временного периода [а, 6], задается неотрицательной функцией 9(1) > 0, с — стоимость хранения единицы товара в течение всего периода времени Т = Ъ — а. Чтобы решить задачу, какова должна быть стоимость хранения товара за период времени Т, изобразим на
течение периода [tt_i,i,] приблизительно равна сд(£г)- —, откуда о — а общая стоимость хранения и за весь временной промежуток [а, Ь определяется приблизительным равенством
^іН"- 2.2 о — а
Точное значение и получается при переходе к пределу при условии, что Л —» 0, где Л = шахД£г; учитывая, что сумма в правой части (2.2), является интегральной суммой, при переходе к пределу получаем определенный интеграл v = urn A п Л/ г п г Гь гУ>(&)—L = ІІШ Т9((г)Мг = / 0(t)dt. 6-а b-a\^o^-^ b-aja Итак, с 6-а / (t)dt. (2.3)
Так как / g(t) dt — среднее значение функции g(t) на интер- Ь - a Ja вале [а, Ь], приходим к следующему простому правилу. Правило 2.2. Стоимость хранения переменного количества товара в течение некоторого временного периода равна стоимости хранения среднего количества товара за этот период (Согласно (2.3) стоимость хранения получается умножением среднего количества хранимого товара на стоимость хранения единицы товара в течение всего временного периода.) Вернемся к подсчету стоимости хранения товара в задаче 1. В рассматриваемом случае переменное количество товара изображается графически в виде системы параллельных отрезков (рис. 2.4). (Пояснение. Считаем, что заказы товара происходят в моменты времени to,ti,. . ..tn~i'. так как товар расходуется равномерно, то его количество равномерно убывает на каждом интервале (г = 1,п), поэтому оно изображается графически на этом интервале прямой, имеющей отрицательный наклон.) Среднее значение функции, график которой изображен на рис. 2.4, можно подсчитать как отношение суммарной площади построенных прямоугольных треугольников к суммарной длине их оснований; оно, очевидно, равно .г/2. По правилу 2.2 затраты на хранение товара в течение планового периода составляют сгх/2, а суммарные затраты можно представить в виде следующей функции: f(x)=c0Q+C-^- + C-f, (2.4) заданной в области V = (О, Q]. Построением целевой функции (в данном случае — функции потерь) заканчивается первый этап.
Этап 2. Исследование построенной функции на экстремум, Находим производную m = -^ + f. В случае, когда числовые значения величин Q, Со, с, сг заданы, нахождение экстремума сводится к нахождению стационарных точек, то есть к решению уравнения /'(ж) = 0, и сравнению значений функции / в стационарных точках и граничных точках интервала (см. п.2). В рассматриваемом случае попробуем проанализировать поведение функции /(ж) в зависимости от величин Q, Со, Cl, С2, рассматриваемых как параметры. Для этого найдем интервалы распределения знаков производной. Имеем ft ^ п С2 ^ С1 ^ ^ /2с1<3
№<о ^ *W—= (2.5) 2 V с2 /'(*) = О 2ciQ С2 Итак, для функции /(ж) имеется единственная стационарная точка х* = y2ciQ/c2, причем левее точки х* функция /(ж) убывает, а правее точки х* — возрастает. Возможны два случая: (а) х* < Q (т.е. х* Є V); (б) х* > Q (т.е. х* І V). В случае (а) очевидно, что х* — единственная точка глобального минимума функции /(ж) на интервале (О, Q] (рис. 2.5, а). В случае (б) точкой глобального минимума функции /(ж) на интервале
(0 Q] буДет точка Q (рис. 2.5,6). При этом случай (а) имеет место когда yJlcQjC2 < Q. т.е. Q > 2сг/с2; случай (б) имеет место, когда <2ci/c2. Этап 3. Анализ -результатов. Оптимальная величина х* заказываемой партии товара зависит от соотношения между параметрами сі, С2, Q- Установим характер этой зависимости «на уровне здравого смысла». х* должна быть монотонно возрастающей функцией от Q (если при неизменной плате за заказы и за хранение потребуется большее количество товара, то и величина заказываемой партии должна быть увеличена). х* должна быть монотонно возрастающей функцией от с (при увеличении стоимости заказов с выгодно уменьшить их число, а для этого надо увеличить размер заказываемой партии). x* должна быть монотонно убывающей функцией от с2 (при увеличении стоимости хранения выгодно уменьшить количество хранимого товара, а для этого надо уменьшить размер заказываемой партии). Функция х* = y/2ciQ/c2 удовлетворяет всем перечисленным условиям. Далее, возьмем какой-нибудь частный случай, например, х* = Q (т.е. когда оптимальным является решение о заказе всего требуемого товара целиком). Согласно формальным выкладкам, проведенным выше, такая ситуация наступает при выполнении условия (б): Q < 2ci/c2. Интуитивно ясно, что решение х* = Q будет оптимальным тогда, когда требуемое количество товара Q «не слишком велико», а плата за хранение «достаточно мала» по сравнению с платой за заказы. Но тогда решение «заказать весь товар целиком» будет тем более верным при уменьшении Q, увеличении Cl и уменьшении С2, что как раз имеет место для критерия Q < 2с/С2- Таким образом, содержательный анализ здесь согласуется с формальными результатами. Итак, оптимальное решение для задачи 1 состоит в следующем: если Q < 2сі/с2, то надо весь товар заказать целиком; если Q 2сі/с2. то товар следует заказывать партиями по sj2cQ/'с2 за один заказ. |
| Оглавление| |
- Акмеология
- Анатомия
- Аудит
- Банковское дело
- БЖД
- Бизнес
- Биология
- Бухгалтерский учет
- География
- Грамматика
- Делопроизводство
- Демография
- Естествознание
- Журналистика
- Иностранные языки
- Информатика
- История
- Коммуникация
- Конфликтология
- Криминалогия
- Культурология
- Лингвистика
- Литература
- Логика
- Маркетинг
- Медицина
- Менеджмент
- Метрология
- Педагогика
- Политология
- Право
- Промышленность
- Психология
- Реклама
- Религиоведение
- Социология
- Статистика
- Страхование
- Счетоводство
- Туризм
- Физика
- Филология
- Философия
- Финансы
- Химия
- Экология
- Экономика
- Эстетика
- Этика
Лучшие книги
Гражданский процесс: Вопросы и ответы
ЗАПАДНОЕВРОПЕЙСКОЕ ИСКУССТВО от ДЖОТТО до РЕМБРАНДТА
Коммуникации стратегического маркетинга
Консультации по английской грамматике: В помощь учителю иностранного языка.
Международные экономические отношения