Название: Математические модели принятия решений в экономике - Розен В. В.

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 903


Лекция 2. экстремум функций одной переменной

 

• Этапы исследования ЗПР в условиях определенности. • Основные те­оремы об жстремумаї и методы нахождения экстремумов функции од­ной переменной • Задача 1. Задача об оптимальном размере закупаемой партии товара.

1. Как отмечено в лекции 1, при принятии решения в условиях определенности состояние среды является фиксированным и оно известно принимающему решение. В этом случае исход однозначно определяется выбором альтернативы, поэтому выбор альтернативы здесь эквивалентен выбору исхода. Следовательно:

а)         альтернативы и исходы могут быть отождествлены (X = А);

б)         целевая функция / становится функцией только перемен- ной х.

Итак, первый этап исследования ЗПР в условиях определен­ности — построение математической модели — сводится здесь к указанию множества допустимых альтернатив X и заданию целевой функции /: X —> R.

Второй этап состоит во введении понятия оптимального реше­ния и нахождении оптимальных решений. Так как в рассматри­ваемом случае число f(x) представляет собой оценку «полезнос­ти» альтернативы х (с точки зрения принимающего решение), то на множестве X допустимых альтернатив естественным образом возникает отношение нестрогого предпочтения £3: альтернатива х считается не менее предпочтительной, чем альтернатива x-i, если полезность альтернативы Х не меньше, чем полезность альтерна­тивы Х2'-

J-ifcara            f(xi)>f(x2). (2.1)

В этом случае представляется разумной единственная концеп­ция оптимальности, когда оптимальной считается та допустимая альтернатива х* Є X, которая является не менее предпочтитель­ной, чем любая другая допустимая альтернатива х Є X; в терми­нах целевой функции это означает, что оптимальная альтернати­ва должна доставлять максимум [наибольшее значение) целевой функции.

Замечание Если целевая функция / в некоторой ЗПР рассматри­вается как функция потерь, то при задании отношения предпочтения на множестве X надо в формуле (2 1) знак неравенства в правой части из­менить на противоположный, в этом случае оптимальной будет та до­пустимая альтернатива, которая доставляет минимум (наименьшее значение) функции потерь

Таким образом, исследование математической модели ЗПР в условиях определенности сводится к трем шагам:

указанию множества X допустимых альтернатив;

заданию целевой функции / : X —» R;

нахождению максимума или минимума функции /.

2. При рассмотрении математических моделей ЗПР возникают два основных вопроса:

Существует ли оптимальное решение!

Если оптимальное решение существует, то как его найти! Для ЗПР в условиях определенности все сводится к нахождению

максимума или минимума целевой функции. В случае, когда мно­жество X допустимых альтернатив конечно, обе проблемы легко разрешимы. Ответ на первый вопрос всегда утвердительный (так как в конечном множестве М = {/{х) : х Є X} всегда есть наимень­ший и наибольший элементы). Что касается ответа на второй во­прос, то существует тривиальный алгоритм нахождения оптималь­ного решения — перебор элементов множества М с отбрасыванием на каждом шаге меньшего элемента (при нахождении максимума). Здесь могут возникнуть сложности технического характера, свя­занные с «обширностью» множества М.

Рассмотрим теперь случай, когда множество допустимых аль­тернатив бесконечно. Здесь ответы на вопросы (1) и (2) зависят от структуры множества допустимых альтернатив и от свойств целе­вой функции. В приложениях, в том числе экономического характе­ра, множество допустимых альтернатив, как правило, состоит из чисел или наборов чисел, т.е. представляет собой некоторую об­ласть V С R или Р С I™. Остановимся на случае, когда Х> С R Случай Т> С К", где п > 1, рассмотрен в лекции 3. Тогда целевая функция / : Т> —^ К есть числовая функция, заданная на числовом множестве Х>, и задача нахождения оптимального решения превра­щается в классическую задачу нахождения экстремума функции од­ной переменной в некоторой допустимой области.

Рассмотрим эту задачу в общем виде. Напомним, что экстрему­мы бывают двух типов: глобальные и локальные.

Определение. Пусть задана функция f: D —> R. Точка х* Є V называется точкой глобального максимума (глобального

минимума) функции f, если для всех х Є Х> выполняется нера­венство f(x) < f(x*) {соответственно f(x) > f(x*)).

Принципиальным результатом, дающим условия, гарантиру­ющие существование глобальных экстремумов, является класси­ческая теорема математического анализа — теорема Вейер-ш трасса, которая утверждает, что всякая непрерывная функ­ция, заданная на замкнутом интервале [а, Ь, достигает на этом интервале как глобального максимума, так и глобального минимума.

Итак, для важного класса ЗПР в условиях определенности, ког­да целевая функция задана на замкнутом интервале и непрерывна на нем, ответ на вопрос (1) оказывается утвердительным (заме­тим, что условие непрерывности целевой функции / не является «обременительным», так как для экономических задач оно обычно выполнено).

Однако теорема Вейерштрасса бесполезна в плане нахождения глобальных экстремумов, т.е. для решения вопроса (2). В мате­матике методы нахождения глобальных экстремумов функции де­тально исследованы для дифференцируемых функций и основаны на связи между глобальными и локальными экстремумами.

Определение. Пусть задана функция f: V —> R. Говорят, что в точке Xq Є D функция f имеет локальный максимум,

если существует открытый интервал, содержащий точку Хо и целиком содержащийся в Т> такой, что в пределах этого интервала функция f имеет наибольшее значение в точке xq

 

Формально: существует такое положительное число 5 > 0, что интервал (хо—5, хо+д) содержится в Т> и для всехх Є (хо—8, х0+5) выполняется неравенство /(х) < f(x0).

Если поменять знак последнего неравенства, то получим опре­деление локального минимума.

Различие между локальным и глобальным экстремумом видно из рис. 2.1. Здесь Хз — единственная точка глобального максиму­ма, {хі, хз, х^) — точки локального максимума, х^ — единственная точка глобального минимума, {х2,Хі} — точки локального мини­мума.

Рассмотрим теперь способы нахождения экстремумов диффе­ренцируемой функции /, заданной на замкнутом интервале [а, Ь].

Основной принцип: если х — точка локального экстремума дифференцируемой функции f, то ее производная в этой точке равна нулю: f (х) = 0 (геометрически это означает, что касатель­ная, проведенная к графику функции / в соответствующей точке, параллельна оси Ох (см. рис. 2.1).

Точка, в которой производная функции равна нулю, называет­ся стационарной; через St / будем обозначать множество всех стационарных точек функции /.

Приведенный выше основной принцип можно теперь сформули­ровать следующим образом: для дифференцируемой функции / мно­жество точек локального экстремума содержится в множестве ее стационарных точек.

Далее, очевидно, что если х0 — точка глобального экстрему­ма, являющаяся внутренней точкой интервала [а,Ь], то х0 также будет точкой локального экстремума и, в силу основного принципа, является стационарной точкой.

 

1 п

 

Однако глобальный экстремум — в отличие от локального — может достигаться не только во внутренней точке замкнутого интервала [а, Ь], но и на его границе (т.е. в точке о или Ь) (рис. 2.2). Учитывая это обстоятельство, окончательно получаем следующее правило.

Правило 2.1. Для дифференцируемой функции f(x), заданной на замкнутом интервале [а,Ь], точки глобального экстремума содержатся во множестве критических точек

Kr/= St/U{a,b},

являющемся объединением множества стационарных точек фун­кции f и концов интервала [а,Ь].

Основанный на правиле 2.1 метод нахождения точек глобально­го экстремума дифференцируемой функции /, заданной на отрезке [а,Ь], состоит в следующем: во-первых, следует найти множество всех критических точек функции / и, во-вторых, сравнить значе­ния функции / во всех ее критических точках. Та критическая точ­ка х*, в которой значение функции / оказалось наибольшим, будет точкой глобального максимума, а критическая точка х°, в которой значение функции / оказалось наименьшим, — точкой глобального минимума.

3. В качестве примера построения и исследования математичес­кой модели принятия решения в условиях определенности рассмот­рим следующую задачу.

Задача 1 (об оптимальном размере закупаемой партии това­ра). Фирма закупает некоторый товар в течение планового периода партиями одинаковой величины, при этом закупленный товар рас­ходуется с постоянной скоростью. Как только запас товара кончает­ся закупается следующая партия и т.д. Неизрасходованный товар

фирма сдает на склад за определенную плату.

Предполагаются известными следующие данные:

Q — требуемое количество товара на плановый период;

Со — стоимость единицы товара;

Cl — стоимость заказа одной партии товара (считается, что стоимость заказа не зависит от величины заказываемой партии);

С2 — стоимость хранения единицы товара в течение планового периода (считается, что стоимость хранения товара про­порциональна его количеству и времени хранения). Требуется определить оптимальный размер закупаемой партии товара (т.е. такой, при котором суммарные затраты фирмы будут минимальными).

Решение. В соответствии с методикой, изложенной в п. 4 лекции 1, необходимо реализовать три этапа.

Этап 1. Построение математической модели ЗПР. Здесь этот этап сводится к нахождению функции суммарных затрат в зависи­мости от величины заказываемой партии товара. Пусть х — вели­чина заказываемой партии товара (по смыслу должно выполняться условие 0 < х < Q, т.е. V = (О, Q}). Затраты фирмы состоят из трех частей:

(а) Затраты на покупку товара. Они равны cqQ и не зависят от величины заказываемой партии товара.

(/3) Затраты на заказы в течение планового периода. Число заказов равно Q/x (точнее, Q/x, если это число оказывается целым, и [Q/x] + 1 — в противном случае; в рассматриваемой модели этим обстоятельством мы пренебрегаем). Отсюда суммарная стоимость заказов в течение планового периода равна cQ/x.

(7) Затраты на хранение товара. Стоимость подсчета затрат на хранение товара осложняется тем, что в рассматриваемом слу­чае количество хранимого товара является не постоянным, а пере­менным. Поскольку задача подсчета стоимости хранения перемен­ного количества товара имеет самостоятельный интерес, рассмот­рим решение этой задачи в общем виде.

Итак, пусть количество товара, хранимого в течение некоторо­го временного периода [а, 6], задается неотрицательной функцией 9(1) > 0, с — стоимость хранения единицы товара в течение всего периода времени Т = Ъ — а. Чтобы решить задачу, какова должна быть стоимость хранения товара за период времени Т, изобразим на

 

Подпись:
координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем время t, по оси ординат — количество товара и) график функции g(t) (рис. 2.3). Разобьем, как это принято при построении определенного интегра- ла, интервал [а, Ь] точками деления а — to < t <•••<£,_! < < іг < • • • < tn = 6; выберем в каждом интервале [tl_1,f,] точку £г и положим Att — t\% — іг_і. Считая, что за малый промежуток вре- мени Д£г количество товара меняется незначительно, можем счи- тать, что в течение временного периода    іг] количество товара остается практически неизменным и равным д(£г). Учитывая, что стоимость хранения пропорциональна количеству хранимого това- ра и времени хранения, получаем, что стоимость хранения товара в

течение периода [tt_i,i,] приблизительно равна сд(£г)-    —, откуда

о — а

общая стоимость хранения и за весь временной промежуток [а, Ь определяется приблизительным равенством

 

^іН"- 2.2

о — а

 

Точное значение и получается при переходе к пределу при условии, что Л —» 0, где Л = шахД£г; учитывая, что сумма в правой части (2.2), является интегральной суммой, при переходе к пределу получаем определенный интеграл

v = urn A

п          Л/        г          п          г Гь

гУ>(&)—L =              ІІШ Т9((г)Мг =                      / 0(t)dt.

6-а     b-a\^o^-^ b-aja

Итак,

с

6-а

/

 

1 fb

Так как                       /   g(t) dt — среднее значение функции g(t) на интер-

Ь - a Ja

вале [а, Ь], приходим к следующему простому правилу.

Правило 2.2. Стоимость хранения переменного количества товара в течение некоторого временного периода равна стоимос­ти хранения среднего количества товара за этот период

(Согласно (2.3) стоимость хранения получается умножением среднего количества хранимого товара на стоимость хранения единицы товара в течение всего временного периода.)

Вернемся к подсчету стоимости хранения товара в задаче 1. В рассматриваемом случае переменное количество товара изо­бражается графически в виде системы параллельных отрезков (рис. 2.4). (Пояснение. Считаем, что заказы товара происходят в моменты времени to,ti,. . ..tn~i'. так как товар расходуется равно­мерно, то его количество равномерно убывает на каждом интервале (г = 1,п), поэтому оно изображается графически на этом интервале прямой, имеющей отрицательный наклон.)

Среднее значение функции, график которой изображен на рис. 2.4, можно подсчитать как отношение суммарной площади по­строенных прямоугольных треугольников к суммарной длине их оснований; оно, очевидно, равно .г/2. По правилу 2.2 затраты на хранение товара в течение планового периода составляют сгх/2, а суммарные затраты можно представить в виде следующей функ­ции:

f(x)=c0Q+C-^- + C-f, (2.4)

заданной в области V = (О, Q].

Построением целевой функции (в данном случае — функции потерь) заканчивается первый этап.

 

Подпись: Этап 2. Исследование построенной функции на экстремум, Находим производную

m = -^ + f.

В случае, когда числовые значения величин Q, Со, с, сг заданы, нахождение экстремума сводится к нахождению стационарных то­чек, то есть к решению уравнения /'(ж) = 0, и сравнению значений функции / в стационарных точках и граничных точках интерва­ла (см. п.2). В рассматриваемом случае попробуем проанализиро­вать поведение функции /(ж) в зависимости от величин Q, Со, Cl, С2, рассматриваемых как параметры. Для этого найдем интервалы распределения знаков производной. Имеем

ft ^ п С2 ^ С1

 

№<о    ^   *W—= (2.5)

2          V с2

/'(*) = О

2ciQ

С2

Итак, для функции /(ж) имеется единственная стационарная точка х* = y2ciQ/c2, причем левее точки х* функция /(ж) убывает, а правее точки х* — возрастает. Возможны два случая:

(а)        х* < Q (т.е. х* Є V);

(б)        х* > Q (т.е. х* І V).

В случае (а) очевидно, что х* — единственная точка глобально­го минимума функции /(ж) на интервале (О, Q] (рис. 2.5, а). В слу­чае (б) точкой глобального минимума функции /(ж) на интервале

 

(0 Q] буДет точка Q (рис. 2.5,6). При этом случай (а) имеет мес­то когда yJlcQjC2 < Q. т.е. Q > 2сг/с2; случай (б) имеет место, когда

Этап 3. Анализ -результатов. Оптимальная величина х* зака­зываемой партии товара зависит от соотношения между парамет­рами сі, С2, Q- Установим характер этой зависимости «на уровне здравого смысла».

х* должна быть монотонно возрастающей функцией от Q (ес­ли при неизменной плате за заказы и за хранение потребуется большее количество товара, то и величина заказываемой пар­тии должна быть увеличена).

х* должна быть монотонно возрастающей функцией от с (при увеличении стоимости заказов с выгодно уменьшить их число, а для этого надо увеличить размер заказываемой партии).

x* должна быть монотонно убывающей функцией от с2 (при увеличении стоимости хранения выгодно уменьшить коли­чество хранимого товара, а для этого надо уменьшить размер заказываемой партии).

Функция х* = y/2ciQ/c2 удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Далее, возьмем какой-нибудь частный случай, например, х* = Q (т.е. когда оптимальным является решение о заказе всего требуе­мого товара целиком). Согласно формальным выкладкам, проведен­ным выше, такая ситуация наступает при выполнении условия (б): Q < 2ci/c2. Интуитивно ясно, что решение х* = Q будет опти­мальным тогда, когда требуемое количество товара Q «не слиш­ком велико», а плата за хранение «достаточно мала» по сравнению с платой за заказы. Но тогда решение «заказать весь товар цели­ком» будет тем более верным при уменьшении Q, увеличении Cl и уменьшении С2, что как раз имеет место для критерия Q < 2с/С2-

Таким образом, содержательный анализ здесь согласуется с формальными результатами.

Итак, оптимальное решение для задачи 1 состоит в следующем: если Q < 2сі/с2, то надо весь товар заказать целиком; если Q 2сі/с2. то товар следует заказывать партиями по sj2cQ/'с2 за один заказ.


Оцените книгу: 1 2 3 4 5