Название: Управление производством - Вильям Дж. Стивенсон

Жанр: Менеджмент

Рейтинг:

Просмотров: 2081


Глава 17

 

Цели изучения

Прочитав эту главу, вы должны уметь:

Объяснять причины появления очередей в недогруженных системах.

Определять цели анализа очередей.

Перечислить показатели работы системы, которые используются в теории очередей.

Обсудить основные предпосылки, на которых базируются описанные в дан­ной главе модели очередей.

Решать типичные задачи.

 

Содержание главы

Материал для чтения: Мисс Вежливость: ожидание — новый способ приятно провести время

Откуда берется ожидание? Цель анализа очередей Характеристики системы Поток клиентов

Ч исло серверов(каналов)

Структура прибытия и обслуживания

Порядок обслуживания Показатели работы системы Модели очередей: бесконечный поток

Основные зависимости

М одель 1: один канал, экспоненциальное время обслуживания Модель 2: один канал, постоянное время обслуживания Модель 3: несколько каналов обслуживания Анализ затрат

Максимальная длина очереди

Модель 4 : множественные приоритеты очередности Модели очередей: конечный поток Другие подходы Заключение Ключевые термины Решение задач

Вопросы для обсуждения и повторения Упражнения по написанию служебных записок

Задачи

Избранная библиография Приложение: Моделирование

 

і           Материал для чтения

Мисс Вежливость: ожидание — новый способ

I           приятно провестивремя

І           Джудит Мартин

І

I Многие вещи в жизни стоят того, чтобы их ждать — но не слишком долго. Мисс Веж-I ливость определила для себя четкие временные границы: сколько можно ждать окон-г чания беседы продавцов друг с другом, или сколько можно надеяться, что ушедший

из дома супруг вернется, поняв весь ужас своей ошибки, j Однако ожидание (наряду с работой) попало сейчас в категорию самых распро-s страненных способов провести время. «Ожидологи» подсчитали, что в среднем | взрослый человек как минимум десятую часть своего бодрствующего состояния тра-; тит на ожидание. Люди дожидаются автобусов, лифтов, обслуживания в театрах, бан-Ї ках, магазинах, на заправочных станциях, в судах и стоматологических кабинетах. лекамерой и приглашения поведать всему миру свое мнение.

j       Мисс Вежливость имеет дело с простейшими и относительно краткосрочными

видами ожидания. Если вы хотите узнать обо всех остальных, вам придется немного - подождать.

і       Хотя многие и не понимают этого, отказ от ожидания у телефона является абсо-

лютно правильным решением. Когда у мисс Вежливость спрашивают: «Не могли бы I вы не класть трубку и минутку подождать?», она часто отвечает: «Нет». Тем хуже, если і ее собеседник занимает при этом свою линию, ставя ее на блокиратор — ему следо-! вапо бы подождать ответа мисс Вежливость.

I Также необходимо отказываться ждать обслуживания. В ресторане должны ин-•j формировать вас о времени обслуживания, и официант не должен заставлять вас

ждать, если только он не занят обслуживанием предыдущего клиента.

I Совершенно невоспитанно отказаться ждать, заявив, что свои потребности го-| раздо важнее, чем потребности всех остальных. Мисс Вежливость не знает таких об-| стоятельств, когда человек, занятый обычным житейским делом, может заявить с

полным на то основанием, что заставлять его ждать куда более возмутительно, чем I заставлять ждать остальных. «Пропустите меня, пожалуйста, — я ужасно занята!» —

очень может быть, но что тогда вы вообще делаете на этой распродаже чулок? І Единственный приемлемый способ ожидания, если уж без этого не обойтись, — і занять себя какой-нибудь работой или развлечением. Ничем не занятый, ожидающий І чего-то человек является по определению потенциальным маньяком. Прелестный I роман Джейн Остин, вовремя извлеченный на свет из сумки, сохраняет ровным и без-| мятежным настроение мисс Вежливость—даже в очереди. Даже беседа как средство ? убить время в ожидании чего-либо является, по мнению Мисс Вежливость, опасной.

Два человека, тихо обсуждающих, какое безобразие эти очереди, являются по тому f же определению потенциальным источником смут и беспорядков.

(1980, Джудит Мартин)

Статья «Мисс Вежливость» подшучивает над одной из суровых реальностей жизни: необходимостью ожидания в очереди. Нет сомнения, что для всех ожидающих в очереди решение проблемы очевидно: добавить дополнительный обслуживающий персонал или предпринять еще что-нибудь в этом роде для ускорения обслуживания. Безусловно, все это может стать потенциальным решением проблемы, хотя необходи- мо учитывать некоторые тонкости. С одной стороны, большинство систем обслужи- вания располагают возможностями обслужить в течение длительного периода време- ни большее число клиентов, чем обычно требуется. Следовательно, проблема ожидающих обслуживания клиентов — это краткосрочное явление. С другой сторо- ны, в определенные периоды времени клиенты отсутствуют, а обслуживающий персо- нал занимается ожиданием. Таким образом, повышая число персонала, мы еще боль- ше повышаем и время простоя. Следовательно, при разработке сервисных систем необходимо соотнести затраты на обеспечение заданного уровня сервисных возмож- ностей с потенциальными издержками, вызванными необходимостью заказчика ждать обслуживания. Подобное планирование и ана- лиз сервисных возможностей обычно относят к теории І _ очередей, которая является математическим методом | ІІ^^под^д 'канат- анализа очередей.     | Зу очередей. |

Очереди обычно встречаются в системе с прош- и»»».»»»»»»^ вольным прибытием клиентов. Очереди часто встреча­ются нам в жизни — у касс супермаркетов и кафе, в кассах аэропортов и театров, на почте и у телефонной будки. Во многих производственных ситуациях «клиенты» — это не люди, а заказы, ожидающие исполнения, грузовики, ожидающие разгрузки, производственные процессы, ожидающие выполнения, или оборудование, ожидаю­щее ремонта. Примеров множество — корабли, ожидающие швартовки, самолеты, ожидающие посадки, пациенты в больнице, ожидающие медицинскую сестру, маши­ны, ожидающие сигнала светофора.

Основы современной теории очередей базируются на исследованиях автомати­ческого телефонного оборудования, проведенных в начале века датским инженером А.К.Эрлангом. Вплоть до II Мировой войны практически не предпринимались по­пытки применить теорию очередей к проблемам бизнеса. Зато потом теория очередей успела принять участие в решении широкого диапазона проблем.

Математическая часть данной теории довольно сложна; поэтому в нашей книге акцент будет сделан не на математических расчетах, а на общих концепциях, лежащих в основе анализа проблем очередей. При этом мы будем полагаться на уже готовые формулы и таблицы.

Наше обсуждение начнется с исследования самой, может быть, фундаментальной проблемы теории очередей: откуда вообще берется ожидание?

 

Откуда берется ожидание?

Многие люди удивляются, узнав, что очереди появляются даже в недогруженной сис­теме. Например, кафетерий имеет возможность обслуживать в среднем 200 заказов в час — и тем не менее очереди могут образоваться даже при среднем числе заказов 150 в час. Ключевое слово здесь — «в среднем». В реальности, клиенты прибывают через случайные и неравные промежутки времени, а некоторые заказы требуют большего времени обслуживания. Другими словами, время прибытия клиентов и время обслу­живания очень неравномерны. В результате этого система то временно перегружена, формируя очереди, —то простаивает, потому что нет клиентов. Таким образом, хотя система может быть в целом недогруженной, неравномерные показатели прибытия клиентов и сроков обслуживания приводят ко временным перегрузкам системы. Из этого следует, что в системах с минимальным или отсутствующим элементом случай­ности (например, с регламентированным временем прибытия клиентов или с постоян­ным сроком обслуживания) очереди обычно не возникают.

Цель анализа очередей

Главная цель анализа очередей — сведение к минимуму общих расходов. В ситуации, когда образуются очереди, существуют две основные категории затрат: связанные с ожиданием клиента и связанные с возможностями системы. Затраты, связанные с сер­висными возможностями системы (мощностью системы) — это расходы на поддержа­ние необходимого уровня обслуживания. В качестве примеров здесь можно назвать число мест в автомойке, число касс в супермаркете, штат специалистов по ремонту оборудования, а также число рядов движения на скоростной автостраде. Когда сер­висная система недогружена, ее мощности потеряны, так как складировать и запасать их невозможно/Затраты, связанные с ожиданием клиента, включают оплату ожида­ния сотрудников (механиков, ожидающих инструменты, водителей грузовиков, ожи­дающих разгрузки), стоимость ресурсов и пространства для ожидания (размер прием­ной врача, длина подъездного пути к автомойке, топливо, которое сжигает ожидающий посадки самолет), а также любые потери, вызванные клиентами, отказав­шимися подождать и, возможно, обратившимися в будущем в другую компанию.

Проблема, которая часто встречается на практике, — определение стоимости времени ожидания, в особенности потому, что основная часть этой стоимости не вхо­дит в бухгалтерские учетные данные. Один из широко распространенных методов — рассматривать время ожидания или длину очереди как переменные величины, опре­деляемые политикой компании: менеджер просто устанавливает приемлемый уро­вень ожидания и создает сервисные мощности в соответствии с данным уровнем.

Цель анализа очередей—сбалансировать затраты на обеспечение определенного уровня сервисных мощностей и затраты, связанные с ожидающими обслуживания клиентами. Эта идея проиллюстрирована на рисунке 17-1. Обратите внимание на то, что по мере увеличения сервисных мощностей увеличиваются и расходы на их содер­жание. Для наглядности и простоты, это увеличение представлено как линейная зави­симость. Хотя более уместной здесь была бы ступенчатая функция, использование прямой линии не вносит значительных искажений в общую картину. По мере увеличе­ния сервисных мощностей, число ожидающих клиентов и время ожидания снижаются. Тем самым снижаются и связанные с ожиданием затраты. Общие расходы можно

О Оптимум

Сервисные мощности

Рис. 17-1. Цель анализа очередей — минимизация суммы двух видов расходов: связанных с ожиданием клиентов и с поддержанием сервисных мощностей

представить в виде U-образной кривой (типичной для ситуации выбора). Цель анали­за — определить уровень сервисных мощностей, который даст минимальный показа­тель общих расходов. (В отличие от экономичной модели запасов EOQ, точка мини­мума на кривой общих расходов не всегда соответствует месту пересечения двух кривых расходов.)

 

Характеристики системы

Существует большое количество моделей очередей, из которых аналитик может выби­рать. Естественно, успех анализа во многом зависит от выбора наиболее подходящей модели. Выбор модели определяется характеристиками изучаемой системы. Основ­ными характеристиками являются:

Поток клиентов.

Число серверов (каналов).

Структура прибытия и обслуживания клиентов.

Порядок обслуживания.

Простая система очереди изображена на рис. 17-2.

 

■»s w о *

Система

            А_

Порядок обслуживания

Прибывающие

Очередь

 

 

Рис. 17-2. Простая система очереди

 

Поток клиентов

Бесконечный поток клиен­тов — прибытие клиентов ничем не ограничено.

Выбор метода анализа проблем очередей зависит от того, ограничено ли потенциаль­ное число клиентов. Возможны два случая: бесконечный и конечный поток клиентов. В случае бесконечного потока возможное число клиен­тов намного превышает возможности системы.

Бесконечные потоки клиентов существуют там, где обслуживание ничем не ограничено. Примерами могут служить супермаркеты, аптеки, банки, рестор­аны, театры, места отдыха и развлечений, платные

автострады. Теоретически большие группы из общего числа потенциальных клиентов могут в любой момент потребовать обслуживания. В том случае, когда число потенци­альных клиентов ограничено, возникает ситуация ко­нечного потока.

Конечный поток клиентов

— число потенциальных кли­ентов ограничено.

Примером здесь может служить рабочий из ре­монтной бригады, отвечающий за определенное число станков на предприятии. Потенциальное число требу­ющих ремонта станков не может превышать число

станков, закрепленных за этим рабочим. Подобным образом, оператор может отве­чать за ввод/вывод данных с четырех компьютеров, медицинская сестра отвечает на вызовы пациентов одной 10-местной палаты, секретарь отвечает за оформление доку­ментов трех начальников, ремонтная мастерская компании может отвечать за ремонт 20 грузовиков компании.

 

Число серверов (каналов)

і Канал — сервер (единица п обслуживания) в сервисной системе.

Мощность сервисной системы определяется мощностью каждого сервера (единицы обслуживания) и используемым числом серверов. Термины сервер и канал — синони­мы; при этом обычно предполагается, что один канал обслуживает за один раз одного клиента.

Системы могут быть одноканальними илимногока-нальными. (Группа серверов, работающих совместно, например, бригада хирургов, считается одноканаль-ной системой.) Примеры одноканальных систем: не­большой продовольственный магазин с одной кассой, некоторые театры, одномест­ные автомойки, банковские автоматы.Многоканальные системы (с более чем одной единицей обслуживания) обычно встречаются в банках, кассах авиабилетов, центрах автосервиса и на заправочных станциях.

Может быть различным и число этапов в системе очереди. Например, в неко­торых колледжах студенты при регистрации перемещаются от одного стола к друго­му, записываясь на выбранные учебные курсы, а затем — к регистраторам и столу каз­начея. Каждая точка очереди представляет собой отдельный этап, на котором может формироваться очередь (что обычно и происходит).

На рисунке 17-3 показаны некоторые наиболее распространенные системы очере­дей. Поскольку невозможно детально рассмотреть все эти случаи в ограниченном объеме данной главы, наше обсуждение остановится на одноэтапных системах.

 

Один канал, один этап

Один канал,

много этапов

ШШІІ

 

Много каналов, один этап

Структура прибытия и обслуживания

Очереди — непосредственный результат отклонений в прибытии и обслуживании клиен­тов. Высокая степень случайности во времени прибытия и обслуживания ведет ко времен­ной перегрузке системы. Во многих случаях, случайность можно описать теоретическим распределением. Н аиболее распространенные модели используют допущение, что норма прибытия клиентов описывается с помощью распределения Пуассона, а время обслужи­вания — с помощью обратного экспоненциального распределения. Эти распределения показаны на рисунке 17-4.

0,20

0,18

я 0,16

5          0,14 со

г           0,12

g          0,10

§          0,08

I           0,06

ь 0,04 О

0,02 0,00

Распределение Пуассона часто обеспечивает достаточно точное описание прибы­тия клиентов в единицу времени (например, в час). Рис. 17-5А показывает прибытие клиентов согласно распределению Пуассона в течение трех дней. В некоторые часы ожидается 3-4 клиента, в другие — 1-2, в третьи — ни одного.

Обратное экспоненциальное распределение дает достаточно точное описание времени обслуживания клиентов (например, первая медицинская помощь жертве автокатастрофы). На рисунке 17-5Б показано время обслуживания клиентов, прибы­тие которых изображает график 17-5А. Обратите внимание, что в большинстве случа­ев время обслуживания очень невелико — некоторые значения приближаются к нулю, — но существуют и величины с большой продолжительностью обслуживания. Это типично для обратного экспоненциального распределения.

Вероятность возникновения очереди особенно велика в случае большой плотнос­ти прибытия клиентов или продолжительного времени обслуживания — и почти на­верняка очередь образуется в случае присутствия обоих этих факторов. Например, об­ратите внимание на долгое обслуживание клиента 7 в первый день, как это показано на рис.17-5Б. Согласно рис.17-5А седьмой клиент появляется сразу после 10.00, а сразу после него прибывают еще двое клиентов, т.е. почти наверняка возникнет очередь. Подобная ситуация происходит в третий день для трех последних клиентов: относи­тельно долгое обслуживание клиента 13 (рис.17-5Б) и короткий промежуток перед

прибытием двух последующих клиентов (рис.17-5А, день 3) приведет к возможному появлению (или увеличению) очереди.

Интересно, что Пуассоново и обратное экспоненциальное распределения являют­ся альтернативными путями представления одной и той же базовой информации. То есть, если время обслуживания изменяется по экспоненциальному закону, то прибы­тие клиентов происходит по закону Пуассона. Если же прибытие клиентов изменяется по экспоненциальному закону, то время между прибытиями подчиняется распределению Пуаасона. Например, если сервисная система способна обслужить 12 клиентов в час (норма), то среднее время обслуживания составит 5 минут. Если норма обслуживания 10 человек в час, то среднее время между прибытиями составит 6 минут. Модели, опи­санные здесь, предполагают, что темпы прибытия и обслуживания описываются ра­спределением Пуассона, или же время между прибытиями и время обслуживания опи­сываются обратным экспоненциальным распределением. На практике необходимо проверить соблюдение данного допущения. Иногда это осуществляется посредством сбора данных и построения диаграммы, хотя предпочтительнее использовать специ­альный тест. Обсуждение данного теста не входит в задачу нашей книги, но в боль­шинстве учебников по статистике есть материал по данной теме.

Исследования показали, что данные допущения часто приемлемы для описания прибытия клиентов, но менее приемлемы для описания времени обслуживания. В тех случаях, когда данные допущения неприменимы, альтернативами могут служить:

создание более подходящей модели;

поиск лучшего (и обычно более сложного) варианта данной модели;

использование компьютерного моделирования.

Каждый из этих вариантов требует больших усилий и расходов, чем тот, который мы обсуждаем.

 

Порядок обслуживания

Порядок обслуживания в очереди — это порядок, в котором обслуживаются клиенты.

Все описанные здесь модели (кроме одной), пред-

полагают, что обслуживание проводится по принципу   ъ f

«первым пришел - первым обслужен»-,. Это, пожалуй,   | ™™ _°^~^В j

самое распространенное правило. Оно используется в   j ром обслуживаются клиен- }

банках, магазинах, театрах, ресторанах и т.д. При-           р ты.

Меры СИСТеМ, КОТОрЫе ПрИДерЖИВаЮТСЯ ИНОГО ПрИНЦИ-   Wihiihiihihuii win »»..■■• • «аші—шівячЗ

па обслуживания, — служба скорой помощи, срочные

заказы на предприятии, компьютерная обработка программ. В этих и подобных си­туациях стоимость ожидания клиентов различна; клиенты с самыми высокими из­держками ожидания (например, самые серьезные больные) обслуживаются первыми, даже если другие прибыли раньше.

 

Показатели работы системы

При рассмотрении действующих или планируемых сервисных систем, руководитель обычно анализирует пять показателей. Этими показателями являются:

среднее число ожидающих клиентов (в очереди или в системе);

среднее время ожидания клиента;

загрузка системы (коэффициент использования мощностей);

стоимость поддержания данного уровня сервисных мощностей и соответст­вующие ему расходы на ожидание клиентов;

вероятность того, что клиенту придется ждать обслуживания.

Из этих показателей особого внимания требует загрузка системы. Она показывает сте­пень занятости каналов. На первый взгляд кажется, что руководитель должен старать­ся обеспечить 100\% загрузку. Тем не менее, как это показано на рисунке 17-6, повыше­ние загрузки достигается за счет увеличения длины очереди и среднего времени ожидания. При приближении загрузки к 100\%, эти величины принимают огромные значения. Поэтому в нормальных условиях 100\%-ная загрузка не может быть разум­ной целью. Вместо этого, руководитель предприятия должен стараться создать систе­му с минимальными общими расходами на ожидание и поддержание мощностей.

Модели очередей: бесконечный поток

Существует большое число моделей, из которых аналитики выбирают наиболее под­ходящую. Наше обсуждение коснется четырех самых основных и распространенных моделей. Цель — скорее познакомить читателя с некоторым диапазоном моделей, чем широко осветить данную область. Все модели характеризуют прибытие клиентов ра­спределением Пуассона. Кроме того, модели рассматривают работу системы в ста­бильных условиях, т.е. предполагается постоянный средний уровень прибытия и об­служивания. В число четырех моделей, описанных в нашей книге, входят следующие:

Один канал, экспоненциальное время обслуживания.

Один канал, постоянное время обслуживания.

Несколько каналов, экспоненциальное время обслуживания.

Различный порядок очередности (многоприоритетная система обслужива­ния), экспоненциальное время обслуживания.

Чтобы облегчить вам использование моделей очередей, в таблице 17-1 представлены основные символы, которые применяются в моделях бесконечного потока.

Символ           Значение символа    

X         Темпы прибытия клиентов

ц          Темпы обслуживания

Lq        Среднее число клиентов, ожидающих обслуживания

Ls        Среднее число клиентов в системе (ожидающих и/или уже обслуженных)

р          Загрузка системы

И/        Среднее время ожидания в очереди

ws        Среднее время пребывания клиента в системе (включая

время ожидания и время обслуживания)

1 /ц      Время обслуживания

Р0        Вероятность нулевых единиц в системе

Рп        Вероятность нахождения п единиц в системе

М         Число единиц обслуживания (каналов)

L          Макисмапьное число ожидающих в очереди

Таблица 17-1. Символы моделей бесконечного потока

Основные зависимости

Во всех моделях бесконечного потока действуют некоторые основные зависимости. Их знание окажет существенную помощь в определении необходимых показателей ра­боты системы (при наличии нескольких ключевых показателей). Основные формулы:

Среднее число обслуженных — это отношение темпов прибытия ктемпам об­служивания. (Величины должны выражаться в одинаковых единицах измере­ния— например, число клиентов в час, часло клиентов в минуту.)

г 4 (17-D

Среднее число клиентов в системе — сумма среднего числа ожидающих и среднего числа обслуженных.

Ls = Lq + r (17-2)

Среднее время ожидания в очереди — отношение среднего числа клиентов в очереди к темпам прибытия.

W-L± (17-3)

Среднее время в системе — сумма времени ожидания в очереди и времени об­служивания.

 

5. Загрузка системы —: отношение темпов прибытия к мощности системы.

р = л^Г (17-5)

Все модели бесконечного потока требуют, чтобы значение загрузки системы было меньше 1,0. Модели применимы только к недогруженным системам.

Среднее число ожидающих в очереди клиентов, Lq, является основной величи­ной, так как оно определяет некоторые другие показатели работы системы, а имен­но: среднее число клиентов в системе, среднее время ожидания в очереди, среднее время в системе. Следовательно, при решении задач Lq, как правило, определяется в первую очередь.

 

ПРИМЕР 1

По утрам клиенты приходят в булочную в среднем по 18 человек в час. Прибытие может быть описано распределением Пуассона со средней величиной 18. Каждый продавец в среднем обслуживает одного клиента за 4 минуты; это время может быть описано экспоненциальным распределением со средним значением 4 минуты.

а.         Каковы темпы прибытия и обслуживания?

б.         Рассчитайте среднее число обслуживаемых клиентов.

в.         Предположим, что среднее число ожидающих в очереди клиентов равно 3,6. Рас- считайте среднее число клиентов в системе (т.е. ожидающих и обслуживаемых), среднее время ожидания, среднее время в системе.

г.          Определите загрузку системы для М = 2, 3 и 4 канала.

Решение:

а. Темп прибытия задан — 18 человек в час. Темпы обслуживания в час можно полу­чить, пересчитав время в часы и взяв обратную величину. Так, 4 минуты на клиен­та : 60 минут в часе = 1/15. Обратная величина — 15 клиентов в час.

б.         г = 18 : 15 = 1,2 клиента

в.         Дано: Lq = 3,6 клиентов       1 Ls = Lq + г = 3,6 + 1,2 = 4,8 клиентов          |

Wq = ^Y = ^£ = 0,20 часа на клиента, или 0,20 часа х 60 минут в часе = 12 минут       I

Ws = Время ожидания + Время обслуживания =   |

= Wq + — = 0,20 + -^г = 0,267 часов, или приблизительно 16 минут     I

I

г.          Загрузка системы:      |

ДляМ = 2            р = 18: 2(15) = 0,60            I

ДляМ = 3            р = 18: 3(15) = 0,40            I

ДляМ=4            р = 18:4(15) = 0,30   f

Таким образом, по мере увеличения мощности системы (измеряемой в единицах      і

обслуживания — каналах), снижается загрузка системы. р

 

Модель 1: один канал, экспоненциальное время обслуживания

Простейшая модель — система, состоящая из одной единицы обслуживания (или одной бригады). Порядок обслуживания — «первым пришел — первым обслужен». Темп прибытия клиентов описывается распределением Пуассона, а время обслужива­ния — обратным экспоненциальным распределением. Ограничений на длину очереди нет.

| ПРИМЕР 2    І

Авиакомпания планирует открыть дополнительный пункт продажи авибилетов в     }

| новом торговом центре. Работать будет один кассир. Предполагается, что в сред-    |

f нем за информацией и билетами будут обращаться 15 человек в час; применяется   | j распределение Пуассона. Время обслуживания описывается экспоненциальным ра-

I определением. Среднее время обслуживания (рассчитано на основании прошлого *

f опыта) — примерно 3 минуты на клиента. Определите:          

' а. Загрузку системы.            ■

б. Процент времени простоя системы.       9

■■ в. Предполгаемое число клиентов, ожидающих обслуживания.        I

г. Среднее время, которое клиент проведет в системе.    f

Ї д. Вероятность нулевого числа клиентов в системе и вероятность 4 клиентов в сис-           і

Таблица 17-2 содержит список формул для одноканальной модели, в дополнение к формулам с 17-1 по 17-5.

Решение:

X = 15 человек в час

ц = ■= ^          = 4- х 60 мин. = 20 человек в час

^   Время обслуживания 3

а.         р = тт- = тгяят = 0,75 у    Мі 1(20)

б.         Время простоя = 1 - р = 1 - 0,75 = 0,25, или 25\%

,           12 152

в- ^ = ^ОГГІ) = 20(20 - 15) = 2'25 ЧЄЛ0ВЄК

l_      12 25 t г. l/l/s =     + yj = ~]g~ + 20 = ^'2<^ часа'   или 12 минут

д- Р° = [1] - I = [2] - Щ = °'25; Р4 = Ро[їїТ =      = °'079

 

Модель 2: один канал, постоянное время обслуживания

Как мы уже говорили, очередь — следствие случайного, нерегулярного прибытия и обслуживания. При снижении или устранении случайности одного или обоих этих факторов, очереди значительно сокращаются. Рассмотрим случай постоянного вре­мени обслуживания. Следствием этого является сокращение вдвое среднего числа кли­ентов, ожидающих в очереди.

/           Х2 (17-9)

 

Среднее время ожидания клиента в очереди также сокращается наполовину. По­добных результатов можно также достичь, упорядочив время прибытия (т.е. с помо­щью записи на прием, бронирования и т.п.).

 

1

ПРИМЕР 3

Автоматическая автомойка Wanda's Car Wash & Dry имеет одно место для мойки; время операции — 5 минут. Как правило, по утрам в субботу на мойку прибывает 8 машин в час, прибытие подчиняется распределению Пуассона. Определите:

а.         Среднее число машин в очереди.

б.         Среднее время, которое машины проводят в системе.

Решение:

X = 8 машин в час

ц = 1 машина в 5 минут, или 12 машин в час а L« = 2^Х) = 2(12)02-8) = °'667 МЭШИН

1-п     1      0,667      1       _ .„

б. Ws =+ yr = —~~q— +     = 0,167 часов, или 10 минут

 

Модель 3: несколько каналов обслуживания

М ногоканальные системы существуют там, где клиентов обслуживают два или более сервера, работающие независимо друг от друга. Использование модели предполагает следующие допущения:

Распределение Пуассона для показателей прибытия клиентов и экспоненци­альное время обслуживания.

Работа всех каналов с одинаковым средним темпом.

Клиенты образуют единую очередь (для сохранения принципа обслуживания «первым пришел — первым обслужен»).

Формулы для многоканальной модели приведены в таблице 17-3. Хорошо видно, что они более сложны, чем формулы для одноканальной модели, особенно формулы ДЛЯ Lq и Рг> Эти формулы приведены лишь для ознакомления; для действительного опре­деления соответствующих значений можно пользоваться таблицей 17-4, в которой приведены значения Ц и Родля выборочных значений ^/ц и М.

Таблица 17-3. Формулы многоканальной модели

Показатель

Уравнение

 

Среднее число клиентов в очереди

(17-10)

q   (М - 1)!(Mu-)2 0

Вероятность нахождения в системе О клиентов

 

л = 0

 

п

(17-11)

 

Среднее время ожидания в очереди

 

Вероятность, что прибывшему клиенту придется ждать обслуживания

 

И/ =

 

1

 

М! 1

(17-12) (17-13)

 

 

М

 

Ро

 

М

ц

Ро

Х/ц

М

ц

Ро

 

3

0,006

0,548

 

3

0,094

0,294

2,0

3

0,889

0,111

0,65

1

1,207

0,350

 

4

0,016

0,300

 

4

0,174

0,130

 

2

0,077

0,509

 

5

0,003

0,301

 

5

0,040

0,134

 

3

0,008

0,521

1,3

2

0,951

0,212

 

6

0,009

0,135

0,70

1

1,633

0,300

 

3

0,130

0,264

2,1

3

1,149

0,096

 

2

0,098

0,481

 

4

0,023

0,271

 

4

0,220

0,117

 

3

0,011

0,495

 

5

0,004

0,272

 

5

0,052

0,121

0,75

1

2,250

0,250

1,4

2

1,345

0,176

 

6

0,012

0,122

 

2

0,123

0,455

 

3

0,177

0,236

2,2

3

1,491

0,081

2,2

4

0,277

0,105

3,3

7

0,052

0,037

4,3

7

0,289

0,130

 

5

0,066

0,109

 

8

0,015

0,037

 

8

0,097

0,013

 

6

0,016

0,111

3,4

4

3,906

0,019

 

9

0,033

0,014

2,3

3

1,951

0,068

 

5

0,737

0,029

 

10

0,011

0,014

 

4

0,346

0,093

 

6

0,


Оцените книгу: 1 2 3 4 5