Название: Математика для экономистов - Красе М. С.

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 1487

Глава 8

Функции нескольких переменных

8.1. Евклидово пространство Ет

8.1.1. Евклидова плоскость и евклидово пространство

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (л-, у) называется координатной плоскостью, и каждая точка на ней характеризуется нарой своих координат: М(х, у). Определение 1. Координатная плоскость называется евклидовой пло­скостью, если расстояние между двумя любыми точками М, (.г,, и     (д-г, у?) определено по формуле

р(МгМ,) = ^(х, -х.гУ + (у, -у-,)2.

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом слу­чае каждая точка координатного пространства характеризуется трой­кой чисел, и тогда расстояние между двумя любыми точками про­странства Л/, (д-,, уь гх) и M.j (да, уг, г2) определяется формулой

р(Л*,,Д*,) = ,j(xx-х7У + {у,-угУ +(?, -z2f.       Щ.1)

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространство опреде­ляются способом измерения расстояния между любыми своими точ­ками.

8.1.2. Понятие m-мерного евклидова пространства

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных совокуп­ностей т действительных чисел (т,, дч. хх, ••, хт) называется т-мерпым координатний пространством Л".

Каждую упорядоченную совокупность (т(, тг,.t„t) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. При этомчисла ж., х-,,.....Хя называются координатами точки М, чти символически запи­сывается следующим образом: М (х,, Щ.....хт).

8.1. Евклидово пространство & 151

Определение 3. Координатное пространство Ат называется т-мериым евклидовші пространством Е"', если между двумя любыми точками М'(х[, х..... х'т)иМ"(х", .г", х"т ) пространства Ат определе­но расстояние р (jVf, М") по формуле

p(W.ло«Ш -xtf + (*;      + + « -т;)г. (8.2)

Очевидно, что введенные понятия w-мерного координатного про­странства Ат и m-мерного евклидова пространства f" являются обоб­щениями понятии, соответственно, координатных плоскости и про­странства и евклидовых плоскости и пространства.

8.1.3. Множества точек евклидова пространства Ет

Будем обозначат!, символом {М} некоторое множество точек /гс-мерно­го пространства Рассмотрим ряд примеров множеств в этом про­странстве.

t. Множество {М} всевозможных точек, координаты xt, х-,, .... хт кото­рых удовлетворяют неравенству

Сё, -*{f +(лг3 -х«У + ...+<*. -x:>J

Этот пример является m-мерным обобщением, соответственно, круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом простран­стве.

Неравенство (8.3) можно переписать с учетом (8.2) в виде

р(М, Ма) < R. (8.4)

В случае строгого неравенства р (М, ЛУ0) < R множество {М} называет­ся открытым т-мерным шаром. Часто это множество также пазывают R-окрестпостью точки М0. В случае (8.4), если неравенство не стро­гое, множество (Л/) называется замкнутый т-мерным шаром. Эти по­нятия переносятся на случай любой размерности при т > 2.

2. Множество {М} точек таких, что расстояние от каждой из них до не­которой точки Ма удовлетворяет' равенству р (Л/. Af„) = Ä, называется т-мерной сферой радиуса R с центром в тонке А/0,

Аналогия: для плоскости — окружность (je - хп)! + (у - у^)1 = R2 радиу­са R с центром в точке Mq (х0, у0), для пространства — сфера

2   Глава 8. Функции нескольких переменных

(х - ха)2 + (у- уъУ + (г - ц)1 = R2 радиуса R с центром в точке М0 (хй.

8.2. Понятие функции нескольких переменных

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 4. Пусть каждой точке М из множества точек М) евкли­дова пространства Ет по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число и из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве {М задана функция и -/(М). При этом множества М] н U называются, соответственно, областью определения (задания) и областью изменения функции/(М).

Как известно, функция одной переменной y=f(x) изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определе­ния {М,,} функции г =/(л, у) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости О.п/ (рис. НА). Координата г называ­ется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некото­рой поверхности в пространстве 0, Аналогичным образом функция от т переменных

U -/(.Х,, -г3.....        Хя ),

определенная на множестве {М} евклидова пространства Ет, представ­ляет собой гиперповерхность в евклидовом пространстве Ет*'.

г»/(х.У)

и

V

Рис. 8.1, Область определения функции двух переменных

8.2. Понятие функции нескольких переменных   2

8.2.1. Некоторые виды функций нескольких переменных

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

Пример 1.2 »д-г • у*.

Решение. Это - поверхность в евклидовом пространстве Областью определения этий функции является все множество точек плоскости Оту. Область значений этой функции промежуток [0, «О, Данная функция представляет собой параболоид вращения (рис. 8,2): в верти­кальных сечениях этой поверхности плоскостями 0.TZ и Uyz получают­ся, соответственно, параболы г=д~ п г=гД

Пример 2.

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Ь'3. Область определения данной функции — все множество точек евклидова про­странства К1 плп плоскости О.сгу. Эта функция является так называе­мым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат О (О, О, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части (рис. 8.3):

Рис. В.2. График функции г - х1 t у?

В сечениях этой поверхности плоскостями, параллельными плоско­сти Оху, получаются эллипсы.

2   Глава 6. Функции нескольких переменных

it

Рис. 8.3. График функции z2 = У/в? * fö№

Приведем теперь наиболее часто встречающиеся в различных прило­жениях виды функции нескольких неременных.

Уравнение вида

Ат + By + Сг + D = О (8.7)

называется общим уравнением плоскости в системе координат Oxyz, Вектор N = (А, В, С) перпендикулярен плоскости (8.7); он называет­ся нормальным вектором этой плоскости. Если известно, что плос­кость проходит через некоторую точку Мп (\% уа, 20), то она может быть задана уравнением

А(х -х0 )+В(у-уа )+ССг-*„) = а (8.8)

Пример 3. Составить уравнение плоскости с перпендикулярным век­тором S-      2, -1), проходящей через точку ЛУи(2, 1, 1). Решение. Согласно формуле (8.8), имеем:

1(х-2) + 2(іу-1)-1(г-1) = 0, или х + 2у-г-3 = 0.

Функция Кобба — Дугласа — производственная функция, показываю­щая объем выпуска продукции Упри затратах капитала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид

У ^АК'іУ", (8.9)

где А > 0 — параметр производи тел ь н ост и конкретно взятой техноло­гии, 0 < а < 1 — доля капитала в доходе.

В.2. Понятие функции нескольких переменных 2

8.2.2. Линии уровня

Понятие линии уровня широко используется прежде всего в геодезии, картографии, составлении синоптических карт, а также в описании различных физических полей (температура, давление и пр.).

Определение 5. Линией уровня функции двух переменных z~f (х, у) называется плоская кривая, получающаяся при пересечении графика этой функции плоскостью, параллельной координатной плоскости Огпу z = С, где С — постоянная величина.

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям по­стоянной величины С, проецируются на одну плоскость, например, на координатную плоскость Олту; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией г = /(х, у).

Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции z=f(x, у) — это семейство непересекающихся кривых на координатной плос­кости Оху, описываемое уравнениями вида

/(-т. у) = С. (8.10)

Обычно берут арифметическую прогрессию чисел С, с постоянной разностью k тогда по взаимному расположению линий уровня можно получить представление о форме поверхности, описываемой функци­ей г=/(х, у). Там, где функция изменяется быстрее, линии уровня пущаются, а там, где поверхность пологая, линии уровня располага­ются реже (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Линии уровня функции двух переменных

2   Глава 8. Функции нескольких переменных

Пример 4. Найти линии уровня функции г = х2 + у2 ~2х—2у.

Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, описываемое уравнением

хг +у2 - 2х-2у = С или (.г - 1)" і (у - 1)" = 2 + С.

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке О, (1. 1) радиуса г = V2 + С. П оверхностъ вращения (парабо­лоид), описываемая данной функцией, становится *круче*> по мере ее удаления от оси, которая определяется уравнениями х-- , у •■ 1,

8.3. Частные производные функции нескольких переменных

8.3.1. Частные производные первого порядка

Пусть функция двух переменных 2 = f (х, у) определена в некоторой окрестности точки А/ (_т. у) евклидова пространства Ш. Частная про­изводная функции г-/(.г, у) по аргументу х является обыкновенной производной функции одной переменной X при фиксированном лна-

чснпи переменной у и обозначается как —, —, z , J.. Аналогичным

дх дх

образом определяется частная производная функции /(,г, у) по пере­менной у в точке М обозначения: ~t—.z,jl- Функция, имеющая

ду ду

частные производные, называется дифференцируемой.

Совершенно аналогично определяются частные производные функ­ций трех и более переменных. Частная производная функции не­скольких переменных характеризует скорость ее изменения ю дан­ной координате при фиксированных значениях других координат.

Пример 5. z -Xі -Ъсу +- 2у2.

Решение. Дифференцируем функцию z =/(.г, у) сначала по х, полагая у фиксированной величиной, потом повторяем эту же процедуру, ме­няя роди X и у. Получаем:

— =2х-2ц.   — = \% -Z.t. дх ду

„ . dz у        02 X

Пример 6. г - arer.g ху.

дх    1 + (хуУ  ду    1 + (дту)'

8 3. Частные производные функции нескольких переменных   2

Пример 7. U - уе* + Ш(х?- -2у + z).

Решение. Частные производные этой функции трех переменных выра­жаются следующими формулами:

du        2r        ди . * 2

— =—;-. - =(yyz)e---r---,

дх    X  - 2у + г   ду х   - 2у + г

ди      і „. 1

=у'е"' ---.

dz хг -2у +2

Пример 8. Найти предельные показатели выпуска продукции У при изменениях одного из факторов', затрат капитала К или величины тру­довых ресурсов I — по функции Кобба - Дугласа

Y = AK*V~*.

Решение. Частные производные этой функции

У; = А а К""1/.'"",   У[ = Л(!-а )Ка!:"

дают решение сформулированной выше задачи. Очевидно, что в функции Кобби - Дугласа показатели степенен а и 1 — о представля­ют собой, соответственно, коэффициенты эластичности Ек (У) и EL (У) по каждому из входящих в нее аргументов.

8.3.2. Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных и =/(т.у, z), дифференцируе­мую в некоторой точке Ы (х, у, г).

Определение 6. Градиентом функции и =/(х, у, г) в точке М называ­ется вектор, координаты которого равны, соответственно, частным

ди ди си производным —, —, — в этой точке. дх ду dz

Для обозначения градиента функции используется символ gmd и:

graci uJ\% *   fl (8,11) І дх   By    cz J

Аналогично, в случае функции двух переменных г = f(x, у) имеем:

grad г Л*   §1 (8.12) [дх ду

Градиент функции характеризует направление и величину макси­мальной скорост и возрастания этой функции в точке.

2   Глава 8. Функции нескольких переменных

Для определения геометрического смысла градиента функции введем понятие поверхности уровня. Это понятие аналогично понятию ли­нии уровня, рассмотренному в 8.2.2.

Определение 7. Поверхностью уровня функции и =/(х, у. z) называ­ется поверхность, на которой эта функция сохраняет постоянное зна­чение

/(д. у,       с*const. (8.13)

В курсе математического анализа доказывается, что градиент в дан­ной точке ортогонален к этой поверхности.

В случае функции двух переменных все сказанное ранее остается в си­ле, только вместо поверхности уровня будет фигурировать линия уровня. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 9. Найти градиент и его модуль функции г = —гс-   в точке

.г + у + 1

М (О, I).

Решение. По формуле (8.12) имеем .тля функции двух переменных

[дх   оу\    [(.x + y+l)- + j

При х-0 л у= 1 получаем:

grad г|,01)= (1, 0}, |grad г|= 1.

Пример 10. Найти поверхности уровня функции

и = X2 -2.Г + у2 + 2у -г-.

Решение. Согласно определению поверхности уровня (8.13), имеем х> -2х + у2 + 2у -г = с, откуда z = (x 1)г+ (у + I)2 - С, где С=с + 2. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются па­раболоиды вращения с осью х= 1. у -■ -1, параллельной оси 0г, верши­ны которых лежат в точках с координатами (1, -1, -С).

8.3.3. Частные производные высших порядков

Частные производные первого порядка от функции двух н более пере­менных также представляют собой функции нескольких переменных, и их также можно продифференцировать, т. е. найти частные произ­водные от этих функций. Так, для функции двух переменных вида Z=f(x, у) возможны четыре вида частных производных второго по­рядка:

8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных 2

ö'z     д (дг\    Ь22      Ъ ( Ъг\    (У г д

дх2    дхдх)   ду дх   ду [дхJ  дх ду дх

1\%/ дуг ду

1\%,

Частные производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешапиыми производными. Ана­логичным образом для функции нескольких переменных определяют­ся частные производные более высоких порядков.

Рассмотрим два примера нахождения частных производных второго порядка для функции двух переменных.

Пример 11. г = X3 -ху1 + х + у + у*..

Решение. Последовательно дифференцируя, получаем;

^ = Зх2-у2+\   ^. = -2ху + + 4у дх ду

д2г   ,     д2г      „     62z      „    Ъ1 г    (Ч г

—г =6-1", —— = -2у. -= -2у, —— = 12у2

0х дх ду дудх ду2

Пример 12. г = е.л sin2t/.

Решение. По правилам дифференцирования произведения имеем:

dz     ,. . п dz   0 л d2z     , .

— = е sin2y, — =2е cos 2у, —— = е siniy,

йг ду дхг

л2» B2z d2z

■■ 2el cos2y. —~ = 2ел cos2y,   —= -4eT sin2y.

йк й/ йт

В рассмотренных примерах смешанные производные оказались рав­ными друг другу, хотя это бывает и не всегда. Ответ на вопрос о неза­висимости смешанных вторых производных от порядка дифференци­рования функции двух переменных даст следующая теорема.

Теорема 8.1. Если функция z=f(x, у) дважды дифференцируема в точке М0 (хй,уй), то ее смешанные производные в этой точке равны.

8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных

8,4.1. Необходимые условия локального экстремума

Пусть функция z=/(x, у) определена на множестве {М}7 а Л/0(.т0, Уа) — некоторая точка этого множества.

160 ГлаваВ.Функциинесколькихпеременных

Определение 8. Функция z -/ (дг, у) имеет н точке Ми локальный мак­симум (минимум), если существует такая окрестность точки Мп. при­надлежащая {Л/), что для любой точки М (д у) из этой пкрестности выполняется неравенство/(М)

Для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума), полное приращение функции Дг--/(Af) -/(Л/с) удовлетворяет одному из условии в окрестности точки А/„:

• Лг < 0, если Л/п - точка локального максимума;

• AzkO, если Afo - точка локального минимума.

Теперь установим необходимые условии локального экстремума.

Теорема 8.2. Если функция z =/(х. у) имеет в точке М„ (дг, уг,) ло­кальный экстремум її частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны пулю;

—, =0. --, =0. (8.14) дхМа суМа

Для случая функции двух и более переменных необходимое условие локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.14): все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке Afft,

Следует особо отметить, что условия (8.14) не являются достаточны­ми условиями экстремума. Например, для функции z = х2 - у1 частные производные равны пулю в точке 0 (0, 0). однако в этой точке функ­ция (которая является уравнением гиперболического параболоида), не имеет экстремума: /(0, 0) = 0, во в люоой окрестности точки 0 есть значения функции как положительные, так и отрицательные.

Точки, в которых выполняются условия (Н.14), называются точками возможного экстремума, или стационарными тинками.

Найдем точки возможного экстремума следующих функций.

Пример 13. г =х2 +у ! + ху - -ix -5у.

Решение. Согласно условиям (8.14), имеем — =■ 0 и — = 0,откуда по-

дх ду

лучаем систему двух алгебраических уравнении с двумя неизвестными:

' Ъ + у = 4. 2у f X = 5.

8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных   2

Решение этой системы .v= Uy-t2,T. е. точка с координатами (1,2) яв­ляется стационарной для данной (функции двух неременных.

Пример 14, U = х'2 + 2т + у'1 + 2ху + г' + гу.

Решение. Согласно необходимым УСЛОВИЯМ экстремума, все три пер­вые частные производные функции равны в этой точке нулю, откуда получаем систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

.г + у = -1, ■ 2т + 2у + г = О, у + 2г = 0.

Решение этой системы дает единственную стационарную точку воз­можного экстремума: (3, -4, 2).

8,4.2. Достаточные условия локального экстремума

Рассмотрим случай функции двух переменных z-/(.v, у), часто ис­пользуемый на практике. Обозначим вторые частные производные

3!z   d7z д7г

этой функции ————, —- в некоторой точке м() через <зп, аи, а21 дх   Вх ду ду'

соответственно. Тогда достаточное условие локального экстремума формулируется следующим образом.

Теорема 8.3. Пусть в точке Ма (л0, уп) возможного экстремума функ­ции и -/(т, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные про­изводные этой функции непрерывны. Тогда, если

дпдг; -я'з > 0, (8.15)

то функция и = /(.т. у) имеет в точке Мй локальный экстремум: мини­мум при йм < 0 и максимум при д,t > 0. Если же aua.i2 -а]2 й 0,то дан­ная функция не имеет локального экстремума в точке Мп.

Пример 15. Найти точки локального экстремума и значения в них функции Z--JT5 - у3- Згу.

Решение.   Сначала   находим   стационарную   точку   из условий

— = — = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с дву-

дх ду

мя неизвестными:

хг -у =0, [х + у1 =0,

Н-Х222

2   Глава 8. Функции нескольких переменных

решения которой дают координаты двух точек (0, 0) и (—1,1). Найдем вторые производные:

д'и б7и д'2и с

all= — =Gx, аа=——-=-л,   a2i = — = -by. дх дх ду ду~

откуда Д = Оцйд - of, = -Збдт/ - 9. В точке (0, 0) имеем Д < 0, и значит, в ней нет локального экстремума. В точке (—1, 1) получаем, что Д = 27 > 0, т. е. □ этой точке данная функция имеет локальный экстре­мум; поскольку дп < 0, то это точка максимума. Значение функции в иен «и*, -/(-1,    = 1

8.5. Применение в задачах экономики

8.5.1. Прибыль от производства разных видов продукции

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции не­скольких Переменных, ВОЗНИКаЮщуЮ В ЭКОНОМИКе. ПуСТЬ Х, х2, ..„ хт — количество производимых т разновидностей продукции, а их цены - соответственно Р|, Р2, Рт (все Р, — постоянные величины). ] Іусть затраты на производство этих видов продукции задаются функ­цией издержек

C=S(xv хг..... хщ).

Тогда функция прибыли имеет вид

U^Pix]+P1x2 + ...+P^cm-S(xu х2.....      xj. (8.16)

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экс­тремума функции многих переменных (8.16) при Хі> 0 (при отсутст­вии других ограничений)

6П   _  .   . _

--- = 0,   1 = 1,   2,  .... 777.

дх,

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относи­тельно ПереМеННЫХ X;

Р = — =0,   i=X 2.....       т. (8.17)

дх,

Система уравнений (8.17) реализует известное правило экономики: предельная стоимость (цена) продукции равна предельным издерж-

8.5. Применение в задачах экономики   2

кам на производство этой продукции. Решениями этой системы урав­нений являются наборы, состоящие из т значений каждый. Нужно за­метить, что сам процесс нахождения решения системы уравнений (8.17) зависит от вида функции издержек и может быть довольно сложным.

Приведем конкретный пример. Пусть производится два вида продук­ции, обозначим их количества через х и у. Пусть цены этой продук­ции, соответственно, Р, = 8 и Рг= 10, а функция затрат С = г + ху + у1. Тогда, согласно (8.16), при Щ = .т, х2 - у прибыль является функцией двух переменных:

П(т, у) —&х + ]0у ~х~ -ху -у7.

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгеб­раических уравнений

• 2х + у =8,

[х v2y= 10.

решение которой определяет точку (2, А). Поскольку

аи =-2<0, а22 =—2; а12 =1   Д = аиаи-af2 =3>0,

то найденная точка определяет локальный максимум функции при­были, который равен П^.,,-28.

8.5.2. Максимизация прибыли производства однородной продукции

Функция прибыли обычно вычисляется по формуле

П (К, L) = PF(K, L) - WL -- RK, (8.18)

где F (К, L) — производственная функция, Р — цена продукции, W и R — соответственно, факторные цены на труд и капитальные затраты, L и К — соответственно, затраты трудовых ресурсов и капитала. Рас­смотрим две задачи, связанные с определением максимума прибыли.

1. Точка (KQI L

В точке локального экстремума первые производные функции прибы­ли П (К, I) равны нулю, откуда имеем систему двух уравнений:

р п C*V pkw*- ljw=q.

I : ■

2   Глава 8. Функции нескольких переменных

Как известно, предельная норма замещения первого ресурса вторым вычисляется по формуле ц. = - F't jF'x. откуда при оптимальном плане получаем: р = -WjR.

2. Максимизация функции прибыли. Найти оптимальный план и мак­симум функции прибыли (8.18), если F(K, L) = 2 (KL)i/3. Таким образом, функция прибыли в данном случае имеет вид П(К, І) а 2Р(КХ)"а - WL-RK.

Условия локального экстремума приводят к системе двух линейных алгебраических уравнений относительно координат К.й и LQ оптималь­ного плана:

Отсюда получаем координаты оптимального плана:

К„ =(2P/3)7fi2tt\   Д0 = (2Pß?tRW2. Подстановка этих величин в функцию прибыли дает ее максимум:

П||Щ =(2Pf3?/RW.

8.5.3. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к методам аппроксимации, или приближенного восстановлен]ш функции но известным се значе­ниям в ряде точек. На практике часто возникает задача о наилучшем подборе эмпирических формул, позволяющих представить в аналити­ческой форме данные статистических наблюдений, изменений и т. д. Задача формулируется следующим образом: имеются данные наблю­дении в п точках

Ми Мь      М„, (8.19)

некоторые величины и, и получены соответствующие значения

«„ Щ..... (8.20)

Нужно подобрать функцию определенного вида u~f(M), чтобы она по возможности наиболее точно отражала неизвестную зависимость измеряемой величины и от параметров (координат) точек измере­ния {М,}.

8.5. Применение в задачах экономики   2

Таким образом, задача нахождения эмпирических формул состоит из двух этапов:

1) определения общего вида зависимости f(M) или вида функции/ с точностью до постоянных параметров (коэффициентов), входящих

в нее;

2) подбора этих неизвестных коэффициентов таким образом, чтобы в точках наблюдений (8.19) подобранная функция наилучшим спосо­бом отвечала данным измерений (8.20).

Итак, пусть на первом этапе определено, что эмпирическая формула должна включать совокупность известных базовых функций

(8.21)

(8.22) (8.23)

Ф, (Л/), <р, (М), т. е. эта формула дол ясна иметь вид

/(М) = й1ф,(Л/) + о,фї(^)+... + йтФлі(,/),

где

а„ иг, а„

— неизвестные параметры эмпирической функции. Второй этап состоит в определении неизвестных параметров (8.23). Их следует выбрать такими, чтобы значения функции (8.22) по воз­можности наименее всего отклонялись бы в точках (8.19) от измерен­ных значений (8.20).

і4

Мі

Рис. 8.5. Графическая интерпретация метода наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадра­тов погрешностей (отклонений) 6, (рис. 8.5) функции (8.22) в точках (8.19) как функции от т аргументов — неизвестных параметров:

= 1

(8.24)

2   Глава 8. Функции нескольких переменных

Для установления точки минимума функции (8.24) т переменных (8,28) нужно найти частные производные этой функции по всем т ар­гументам и приравнять их к нулю. Отсюда получается система т ли­нейных алгебраических уравнений относительно т неизвестных пара­метров (8.23):

Алсг, + Aj2a, +...+Ajma„ = Ву   j = 1.   2, т. (8.25)

Коэффициенты и свободные члены уравнений этой системы опреде­ляются но формулам

А* = =|>,(Л/,)фЛЛ/Д   В, "І>.Ф;-0О; (8.26) і=і і=і

j, k^l, 2, п.

Поскольку функция (8.2-1) является положительной, выпуклой вниз п неограниченной в евклидовом пространстве Е", то решение системы уравнении (8.25) представляет собой координаты точки ее локального минимума.

При обработке данных экономической статистики наиболее распро­страненным янляется приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной (например, это широко исполь­зуется в трендовом анализе). В этом случае совокупность точек изме­нения (8.19) представляет собой набор значений аргумента .т;, щ,... х,г, а совокупность функции (8,21) состоит из двух функций: .v и I. Эмпи­рическая формула (8.22) имеет вид

и-ах + Ь. (8.27)

Неизвестные параметры а н Ь определяются из системы двух линей­ных уравнений

A,.(j + A,,b=B,,

и ,   * (8.28)

А2,а1 + АпЬ = В.,,

в которой коэффициенты и свободные члены выражаются форму­лами

Al Avi =4i = !>,■

l-t г=1

A.n -n,   Л, = В, = £v (8.29)

Упражнения   2

Упражнения

Найти области определения функций.

8.1. г - л '   г .8,2, z = ф£. 8.3. г = а2 -х2 -у2 .$A.z = 4x-y.

8.5. 2 F

I + І3 +1/

. 8.7. z=ln(.r + y).

т  +у ­

8,8. г*

т - у

Построить линии уроїшя функций.

8.Э. г=ху. 8.10. z = x + y. 8.11. 2=л[^хТ. 8.12. 2 = *

Найти частные производные от функций.

8.14. г =х3 + 3лгу-уп.8.15. 2 =        8.16. г = sin (х + у).

І -г/

8.І7.2 =*V -т^1.8.18. г = arctg ^.8.19.г =     8.20. г = in (.г + у2).

8.21. г = п(-1х~ + 4у ).».22. г =.xyexv. 8.23. 2 = J**2 + уг.

8.24. к = ^jx2 +у2 +Z1.

Найти градиент и его модуль для функций в указанных точках.

8.25. 2 = 4 -х2-^, в точке Af (1, 2).

8.2Є.2 = (т-у)!. М(0. 3). 8.27. и =х* + у2 - г2, М (1, -1,2).

8.28. и =.1з/2, Л/(3, -1, 2).

Найти частные производные второго порядка.

8.29. г =—— .8.30. z = jm*. 8.31. z= In (л + er*), 8.32. 2 = дгЧ

1 + 2y

8.33. г = arctg .ту. 8.34. г = ex (siny + Tcosy). Найти экстремумы функции:

8.35. г = хг +у2 + ху - Ах -5у. 8.36. z = ззу (1 -х -у).

8.13. г =

x

2   Глава 8. Функции нескольких переменных

8.37. z = .y3 -г/П -Згту.8.38. г= 3.V + 6у - Xі - ху + у?..

8.39. г = 2хл - ху1 + 5.1- + у2. 8.40. z = 2ху -Ах- 2у. 8.4І. г~е*А (х + у).

8.42. Цены двух видов товаров равны, соответственно, Р - 32 и

Р2 = 24 денежные единицы. Определить, при каких количествах _г и у

продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция пз-3

ДерЖСК НМЄЄТ ВИД Ca -X   + Ъу 4 у 1.

8.43. В результате эксперимента для пяти значении аргумента х полу­чены пять значений величины и:

X   —2   0    1   2 4

м  05   1   15  2 3

Методом наименьших квадратов найти функциональную зависи­мость между X и и в виде линейной функции и = ах + Ь.