Название: Математика для экономистов - Красе М. С. Жанр: Экономика Рейтинг: Просмотров: 1487 |
Глава 10Основные положения теории вероятностей Случайным относительно комплекса условии S называется событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет дело со случайными событиями, однако она не может предсказать, произойдет ли единичное событие или нет. Теория вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. В последние годы аппарат теории вероятностей активно используется в экономике, 10.1. Основные понятия теории вероятностей 10.1.1. Некоторые формулы комбинаторики Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбинации, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их. 1. Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности п различных элементов и различающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число всех возможных перестановок определяется произведением чисел от единицы до я; Р„ = 1-2-3- • и = п 2. Комбинации по т элементов, составленные из л различных элементов (т <, л), отличающиеся друг от друга либо элементами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных размещений 10,1. Основные понятиятеории вероятностей 185 Л; = п(и-1)(л-2)—(и-ет+1). 3. Комбинации, содержащие но т элементов каждая, составленные на Я различных элементов (mSff) и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Чисто сочетаний определяется формулой _-пЛ- =/,яС;. (10.1) 4 m!(n-m)! * В частности, вторую из формул удобно использовать в расчетах, когда 771 > 77/2. Напомним формулу бинома Ньютона, в которой участвуют коэффициенты (10.1): (р * 0 - с> V і c;VV і ... і с>«г' * c>V. (10.2) Пример 1. Сколькими способами можно выбрать: а) по 2 карты; б) по 32 карт ы из Колоды, содержащей 36 Игральных карт? Решение. Искомое число способов: а) С' Г^-Ё:36. = щ б) С" =С< = 58905. * 2! 34! 2 зс Jb 4! 32! 10.1.2. Виды случайных событий Ранее было введено понятие случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо термина «совокупность условий* употребляют термин «испытание», и тогда событие трактуется как результат испытания. Определение 1. События называют несовместными, если в одном и том же испытании.появление одного из них исключает появление других. Например, выпадение «орла» при подбрасывании монеты исключает появление в этом же испытании «решки», и наоборот. Определение 2. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием. Например, при произведении выстрела по мишени (испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу. 10.1.3. Понятие вероятности Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходом. Те элементарные исходы, которые, интересуют нас, называются благоприятными событиями. 2 Глава 10. Основные положения теории вероятностей Определение 3, Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу равповоэможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А. Вероятность события А обозначается Р(А), Понятие вероятности является одним из основных в теории вероятностей. Данное ранее его определение является классическим. Из него вытекают некоторые свойства. Свойство !. Вероятность достоверного события равна единице. Свойство 2, Вероятность невозможного события равна нулю. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число 0< Р(А) < 1, Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0<Р(Л)<1. (10.3) Пример 2. В коробке лежат 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых. Решение, Найдем число благоприятных неходов: число способов, которыми можно взять і белых шара из 6 имеющихся, равно С* = С1--р. » 15. 6 2! 4! Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5: (7,0 = 252. Согласно определению 3, искомая вероятность Р= 15/252 = 0,06. 10.2. Умножение вероятностей 10.2.1. Произведение событий и условная вероятность Определение 4. Произведением двух событий А и В называется событие AB, означающее совместное появление этих событий. І Іанример, если событие Л - шар, событие В — белый цвет, то их произведение А В — белый шар. Аналогично определяется произведение нескольких событий как совместное появление всех их. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме необходимого комплекса условий S, не налагается, то та- 10,2. Умножение вероятностей 187 кая вероятность называется безусловной. Если же налагаются другие дополнительные условия, содержащие случайные события, то вероятность такого события называется условной. Определение 5. Вероятность события В в предположении о наличии события Л называют условной вероятностью Рл (В). Пример 3. В яшике лежат 11 деталей, 3 из них нестандартные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти аероятноаъ того, что во второй раз из ящика будет извлечена нестандартная деталь — событие В, если в первый раз взяли нестандартную. Решение. После первого извлечения в ящике из 10 деталей имеется 8 стандартных, н следовательно, искомая вероятность РА (Л) = 0,8. Пусть теперь известны вероятность Р(Л) события А и условная вероятность РА (В) события В. Тогда справедлива следующая теорема, Теорема 10.1. Вероятность произведения двух событии определяется (рормулой Р(ЛВ) = Р(А)РАВ). (10.4) В теории доказывается, что справедливо равенство Р(Л)Р,(В) = Р(В)РВ(Л). Пример 4. ß условиях примера 3 найти вероятность того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандартная. Решение. Итак, событие А - это извлечение из ящика нестандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда вероятность Р(Л) = 3/11, а условная вероятность Рл (В) - 0,8. Искомая вероятность произведения этих событий (их совместною появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 10.1, Р(АВ) = Р(А) Р, (В) = (3/1!) ■ 0.8 *0,22. Теорема 10.1 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий Л„ А2, Л3,.... Л„: Р(А,АЛу-А„)=Р(Л])РЛі (А,)РЛЛ,(А3)-Р^ А|(Л„), (10.5) т. е. вероятность совместного появления п событий равна произведению п вероятностей, где РЛЧ[ ..^ , (Л4) — условные вероятности собы 2 Глава 10, Основные положения теории вероятностей тий At в предположении, что события Л,, А2, Ліи уже произошли (к= ), 2, .... л). Пример 5. В урне находятся А белых шара, 5 красных н 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событий А), во второй раз — красный (сстбытне Ö), в третий - синий (событие С). Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении Р(Л) = 1/3; условная вероятность появлення красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара Рл (В) = 5/11; условная вероятность появления синего шара в третьем извлечен» при условиях появления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров РАВ (С) =0,3. Искомая вероятность определяется но формуле (10.5) при я = 3: Р (ЛВС) = Р (Л )РА {В)Рли(С) = (1/3)(5/11)0,3 а, 0,045. 10.2.2. Независимые события Определение 6, Событ ие В называется независимым от события Л, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (появление события А не влияет на вероятность события В): РЛ(В)^Р(В). (10.6) Для независимых событий теорема умножения вероятностей 10.1 в общей форме, которая следует из (10.5), имеет вид Р{АіА2А3 - Ап) = Р(АІ)Р(А2)Р(Л,У -Р(Ап), tt>i. (10.7) Равенство (10.7) принимается за определение независимых событий. Пример 6. Найти вероятность поражения пели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями равны 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно (события А, В и С). Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле (10.9), при и = 3: Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) =0,9-08-0,7 =0504. Когда в результате испытания могут иметь место п назавнснмых событий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятности наступления хотя бы одного из них (например, в случае грех событий — найти вероятность наступления либо одного, либо двух, либо трех событий). Обозначим это события через А. Справедлива следующая теорема. 10.3. Обобщение умножения и сложения вероятностей 2 Теорема 10.2. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событии Л2.....Ап определяется формулой P(A) = ~q,q,-qn, (10.8) где q, = 1 - р, — вероятности соответствующих противоположных событии Al (i = 1, 2, п). В частном случае, когда все события А, имеют одинаковую вероятность р, из формулы (10.8) следует, что Р(А) = І-а", q= -p. (10.9) Пример 7. На перевозку груза направлены -1 автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей. Решение, Вероятность противоположного события (машина неисправна) равна q= 1 -0,8 = 0,2. По формуле (10.9) находим искомую вероятность при п = 4; Р(Л) = 1 - 10.3. Обобщение
умножения и сложения
вероятностей 10.3.1. Сложение вероятностей совместных
событий Определение 7. События А и И называют совместными, если в одном
и том же испытании появление одного из них не исключает появление другого, Для таких
событий справедлива следующая теорема. Определение 8. Сулемой двух событий А и В называют событие С=
А + В, которое состоит в появлении либо события Л, либо события В, либо Л и В одновременно. Аналогично определяется сумма нескольких
событий, состоящая в появлении хотя бы одного из этих событий. Теорема 10.3. Вероятность суммы совместных событий равна сумме
их вероятностей без вероятности их произведения: Р(Л + В)= Р(Л) + Р(В) -Р(АВ). (10.10) Из формулы (10.10) получается ряд следующих частных случаев:
I. Для независимых событий с учетом формулы (10.7): 2 Глава
10. Основные положения теории вероятностей Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В) - Р(А) Р(В). (10.11) 2. Для зависимых событий с учетом формулы (10.4): Р(А + Й) = Р(Л) t P(ß)
Р(Л)РЛ(В). (10.12) 3. Для несовместных событий Р(АВ) - 0, и в этом случае имеем Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (10.13) Пример 8. Вероятности поражения цели первым и вторым орудиями
равны, соответственно, 0,8 и 0,9. Найти вероятность поражения цели при залпе, Решение. Поскольку вероятности поражения пели орудиями (события
Л и В соответственно) не зависят от результатов стрельбы каждого из напарников,
то эти события независимы. Искомая вероятность рассчитывается но формуле
(10.11): Р (Л + В) = Р (Л) + Р (В) - Р(Л) Р (В) = 0,8 + 0,9 - 0.72 =
0,98. В случае полной группы событий Л„ А2, .... А„ сумма их вероятностей
равна единице: Я(Л:) + Р(Лг) + ...*р(ЛГ1)=1. (10.14) 10.3.2. Формула полной вероятности Пусть события Вц В2, .... В„ несовместны и образуют полную группу,
т. е. выполняется равенство (10.14): Р(В,) + Р(В2) + ... + Р(В *„) 1. Пусть также событие Л может наступить при условии появления одного
из событий В„ причем известны как вероятности РІВ,), так и условные вероятности
Рп (Л) ((= t, 2.....я). В таком случае формула для вероятности события А определяется следующей теоремой. Теорема 10.4. Вероятность события Л, появление которого возможно
лишь при наступлении одного из несовмегтных событий В„ образующих полную группу
(i = 1, 2,.... п), равно сумме попарных произведений каждого из этих событий на
соответствующую условную вероятность появления события А: Р(Л) = Р(В,) Р^ (Л)+ РІВ,) Р^ (Л) + ... + Р(ВЙ) Рв_ (Л).
(10.15) 10.3. Обобщение
умножения и сложения
вероятностей 2 Пример 9. В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой
— 4 белых и 5 красных, во второй
— 7 белых и 3 красных. Из второй
урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что
наудачу взятый после зтого из первой урны шар будет белым. Решение. Переклады ваш le из второй урны в первую белого шара
(событие В,) и красного шара (событие В-,) образуют полную группу независимых
событий. Их вероятности, соответственно. Р(В,) = 0,7 и р(в2)
- 0,3. Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара (событие а) при добавлении гуда белого или красного
шара из второй урны равны рщ
(а) = 05 и Р„г (Л) = 0,4соответственно.
Искомая вероятность находится по формуле (10.15) при и = 2: р(а) = рщ ) ря
(Л) + Р(В,) pbi (Л) = 0,7 ■ 05 + 03-04 = 0,47. 10.3.3. Формулы
Байеса Пусть события В;, въ
... в„ несовместны и образуют
полную группу, а событие Л может наступить при условии появления одного из них.
События в, называют гипотезами,
так как заранее неизвестно, какое ИЗ них наступит. Пусть произведено испытание и
в результате появилось событие а.
Тогда оказывается возможным определить условные вероятности гипотез йг по следующим
формулам: Р(В,)РВ(Л) Рл {В>) = Р{В,) Ръ (Л) + р{в2) РН,(Л)+ ... + р(в„)
pJÄj ~ = рів, ) р, (Л)/ J р<А ) щщ.
= р(в, )рВі
(Л)/ р(а), (10.16) 2= 1, 2,
.... П. Формулы (10.16) называются формулами Байеса, по имени их автора.
Они позвиляют оценить вероятность гипотезы в,
во всех испытаниях, где наступает событие а.
Иными словами, зная вероятность Я (в,)
до проведения испытания, мы можем переоценить ее после проведения испытания, в результате
которого появилось событие а. Пример 10. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка
60 обслуживаются первым операционистом и 40 —
вторым операционистом. Вероятность того, чти клиент будет обслужен без помощи заведующего
отделением, только самим операционистом, составляют 0,9 и 0,75 соответственно для
первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента
первым операционистом. Решение. Вероятность ТОГО, что КЛИвНІ попадает к первому операционисту
(событие В,), составляет 0,6, ко второму —
0,4 (событие В-/). Искомая вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом
(событие Л) определяется по формулам (10.15) и (10.16): нва&1л) 06-09 РЛВ.) = ---' * -=----=0,64, 1 P(Bl)P(A)+P(B.l)PH(A) 0,6 0,9 + 0,4
0,75 Иными словами, 64\% клиентов, попавших па обслуживание к первому
операционисту, будет обслужено им полностью. 10.4. Схема
независимых испытаний 10.4.1. Формула Бернулли Определение 9. Если при проведении нескольких испытаний вероятность
события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания
называются независимыми оіттсительио события А. Будем рассматривать только такие независимые испытания., в которых
событие А имеет одинаковую вероятность. Г1гсть производится л независимых испытаний,
в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятности
противоположного события - нснаступления события А — также постоянна в каждом испытании
н равна Ц— - р. В теории вероятностей представляет особый ин терес случай, кигда
в п испытаниях событие А осуществляется к раз и не осуществится и - k раз. Вероятность зтого сложного события, состоящего из п испытаний,
дается формулой Бернулли: рат^сір'чґ
пли р.<*) = , i4,fV'V (ю-!?) к(и - я)! Пример 1І.
Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта
ответов, среди которых только пднн правильный. Найти вероятность Правильного ответа
на 2, 3 и 4 вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу). Решение. Искомые значения вероятности находятся по формуле Бернулли
(10,17) с учетом того, что вероятность события А (правильный ответ) в каждом испытании
(выбор ответа на вопрос теста) равна 0,25, a q = 0.75. Отсюда получаем: 1Ü.4.
Схема независимых испытаний 193 РЛ(2) = С2(025У-(WS? =02L Л(3) = С43(025):і (0,75/ « Сф25У -0,75 =0,047; P,(i) =
Cl(025Y -(0,75)" =Є\%ХЩУ =(025У
=0,004. 10,4.2. Интегральная
теорема Лапласа Опять предположим, что в каждом из произведенных и испытаний
событие Л появляется с одинаковой вероятностью р.
В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употребимы определения вероятности
события Авп испытаниях, когда к изменяется в заданном интервале значений 1<к<
т. Соответствующая вероятность обозначают Р„(!, от) Формула дня приближенного нычислення
отой вероятности устанавливается следующей интегральной теоремой Лапласа. Теорема 10.5. Пусть вероятность р наступления события А в каждом
испытании постоянна, причем 0<р< 1, Тогда вероятность того, что событие/!
появится в п испытаниях от 1 до т раз. приближенно равна определенному интегралу: где a = (-np)l'Jnjiq, b = (т- np)j'yfnpli. Формула (10.18) применима в случае больших значений п и к.
При вычислениях по этой формуле пользуются специальными таблицами дня интеграла поскольку соответствующий неопределенный интеграл не выражается
через элементарные функции. Таблица значений функции Ф (л) приведена в приложении.
Эта функция является нечетной, поэтому в таблицах обычно приводят значення Ф (л)
для положительных значений верхнего предела интегрирования х. Более удобно использовать
формулу (10.18) в виде формулы Ньютона—Лейбница: Пример 12. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших
свою недвижимость. Страхоной юное составляет 2000 лен. ед, вероят- (10.19) (10.20) 1Э 1221 2 Глава
10. Основные положения теории вероятностей кость страхового случая р = 0,005, страховая выплата клиенту
при ст раховом случае составляет 200 тыс. ден. ед. Определить размер прибыли страховой
компании с вероятностью Р. а) 0,9; б) 0,995. Решение. Прибыль компании зависит от числа страховых выплат
k при страховых случаях. Будем полагать, что величина ее равна разности между суммами
страховых взносов и страховых выплат; Ä =
(20-0,2A> Теперь задача состоит в нахождении такого числа .V, чтобы вероятность
страхового случая Ртао (k > N) была бы не больше заданной величины ! - Р, или,
что то же самое, чтобы выполнялось условие РШШ(К |