Название: Математика для экономистов - Красе М. С.

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 1487

Глава 10

Основные положения теории вероятностей

Случайным относительно комплекса условии S называется событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет дело со случайными событиями, однако она не может предсказать, про­изойдет ли единичное событие или нет. Теория вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных со­бытий. В последние годы аппарат теории вероятностей активно ис­пользуется в экономике,

10.1. Основные понятия теории вероятностей 10.1.1. Некоторые формулы комбинаторики

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбинации, количества кото­рых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их.

1. Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности п различ­ных элементов и различающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число всех возможных перестановок определяется произведением чисел от единицы до я;

Р„ = 1-2-3- • и = п

2. Комбинации по т элементов, составленные из л различных элемен­тов (т <, л), отличающиеся друг от друга либо элементами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных разме­щений

10,1. Основные понятиятеории вероятностей 185

Л; = п(и-1)(л-2)—(и-ет+1).

3. Комбинации, содержащие но т элементов каждая, составленные на Я различных элементов (mSff) и различающиеся хотя бы одним эле­ментом, называются сочетаниями. Чисто сочетаний определяется формулой

_-пЛ- =/,яС;. (10.1)

4    m!(n-m)! *

В частности, вторую из формул удобно использовать в расчетах, когда

771 > 77/2.

Напомним формулу бинома Ньютона, в которой участвуют коэффи­циенты (10.1):

(р * 0 - с> V і c;VV і ... і с>«г' * c>V. (10.2)

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать: а) по 2 карты; б) по 32 карт ы из Колоды, содержащей 36 Игральных карт? Решение. Искомое число способов:

а) С' Г^-Ё:36. = щ б) С" =С< = 58905.

*   2! 34!       2 зс     Jb    4! 32!

10.1.2. Виды случайных событий

Ранее было введено понятие случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо термина «совокупность условий* употребляют термин «испытание», и тогда событие трактуется как результат испы­тания.

Определение 1. События называют несовместными, если в одном и том же испытании.появление одного из них исключает появление других. Например, выпадение «орла» при подбрасывании монеты ис­ключает появление в этом же испытании «решки», и наоборот.

Определение 2. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является дос­товерным событием. Например, при произведении выстрела по мише­ни (испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу.

10.1.3. Понятие вероятности

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементар­ным событием, или исходом. Те элементарные исходы, которые, инте­ресуют нас, называются благоприятными событиями.

2   Глава 10. Основные положения теории вероятностей

Определение 3, Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу равповоэможных несовмест­ных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.

Вероятность события А обозначается Р(А), Понятие вероятности яв­ляется одним из основных в теории вероятностей. Данное ранее его определение является классическим. Из него вытекают некоторые свойства.

Свойство !. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2, Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число 0< Р(А) < 1,

Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравен­ству

0<Р(Л)<1. (10.3)

Пример 2. В коробке лежат 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти веро­ятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Решение, Найдем число благоприятных неходов: число способов, ко­торыми можно взять і белых шара из 6 имеющихся, равно

С* = С1--р.   » 15.

6    2! 4!

Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5: (7,0 = 252. Согласно определению 3, искомая вероятность

Р= 15/252 = 0,06.

10.2. Умножение вероятностей

10.2.1. Произведение событий и условная вероятность

Определение 4. Произведением двух событий А и В называется собы­тие AB, означающее совместное появление этих событий.

І Іанример, если событие Л - шар, событие В — белый цвет, то их про­изведение А В — белый шар. Аналогично определяется произведение нескольких событий как совместное появление всех их.

Если при вычислении вероятности события никаких других ограни­чений, кроме необходимого комплекса условий S, не налагается, то та-

10,2. Умножение вероятностей 187

кая вероятность называется безусловной. Если же налагаются другие дополнительные условия, содержащие случайные события, то вероят­ность такого события называется условной.

Определение 5. Вероятность события В в предположении о наличии события Л называют условной вероятностью Рл (В).

Пример 3. В яшике лежат 11 деталей, 3 из них нестандартные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Най­ти аероятноаъ того, что во второй раз из ящика будет извлечена нестандартная деталь — событие В, если в первый раз взяли нестан­дартную.

Решение. После первого извлечения в ящике из 10 деталей имеется 8 стандартных, н следовательно, искомая вероятность

РА (Л) = 0,8.

Пусть теперь известны вероятность Р(Л) события А и условная веро­ятность РА (В) события В. Тогда справедлива следующая теорема,

Теорема 10.1. Вероятность произведения двух событии определяется (рормулой

Р(ЛВ) = Р(А)РАВ). (10.4)

В теории доказывается, что справедливо равенство

Р(Л)Р,(В) = Р(В)РВ(Л).

Пример 4. ß условиях примера 3 найти вероятность того, что в пер­вый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандарт­ная.

Решение. Итак, событие А - это извлечение из ящика нестандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда вероятность Р(Л) = 3/11, а условная вероятность Рл (В) - 0,8. Искомая вероятность произведе­ния этих событий (их совместною появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 10.1,

Р(АВ) = Р(А) Р, (В) = (3/1!) ■ 0.8 *0,22.

Теорема 10.1 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий Л„ А2, Л3,.... Л„:

Р(А,АЛу-А„)=Р(Л])РЛі (А,)РЛЛ,(А3)-Р^ А|(Л„), (10.5)

т. е. вероятность совместного появления п событий равна произведе­нию п вероятностей, где РЛЧ[ ..^ , (Л4) — условные вероятности собы­

2   Глава 10, Основные положения теории вероятностей

тий At в предположении, что события Л,, А2, Ліи уже произошли (к= ), 2, .... л).

Пример 5. В урне находятся А белых шара, 5 красных н 3 синих. На­удачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событий А), во второй раз — красный (сстбытне Ö), в третий - синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении Р(Л) = 1/3; условная вероятность появлення красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара Рл (В) = 5/11; условная вероятность появления синего шара в третьем извлечен» при условиях появления в предыдущих извлечениях бело­го и красного шаров РАВ (С) =0,3. Искомая вероятность определяется но формуле (10.5) при я = 3:

Р (ЛВС) = Р (Л )РА {В)Рли(С) = (1/3)(5/11)0,3 а, 0,045.

10.2.2. Независимые события

Определение 6, Событ ие В называется независимым от события Л, если условная вероятность события В равна его безусловной вероят­ности (появление события А не влияет на вероятность события В):

РЛ(В)^Р(В). (10.6)

Для независимых событий теорема умножения вероятностей 10.1 в общей форме, которая следует из (10.5), имеет вид

Р{АіА2А3 - Ап) = Р(АІ)Р(А2)Р(Л,У -Р(Ап), tt>i. (10.7)

Равенство (10.7) принимается за определение независимых событий.

Пример 6. Найти вероятность поражения пели при совместной стрель­бе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями рав­ны 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно (события А, В и С).

Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то ис­комая вероятность вычисляется, согласно формуле (10.9), при и = 3:

Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) =0,9-08-0,7 =0504.

Когда в результате испытания могут иметь место п назавнснмых со­бытий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятности наступления хотя бы одного из них (например, в случае грех событий — найти вероятность наступления либо одного, либо двух, либо трех событий). Обозначим это события через А. Справедлива следующая теорема.

10.3. Обобщение умножения и сложения вероятностей 2

Теорема 10.2. Вероятность появления хотя бы одного из независи­мых событии     Л2.....Ап определяется формулой

P(A) = ~q,q,-qn, (10.8)

где q, = 1 - р, — вероятности соответствующих противоположных со­бытии Al (i = 1, 2, п).

В частном случае, когда все события А, имеют одинаковую вероят­ность р, из формулы (10.8) следует, что

Р(А) = І-а",    q= -p. (10.9)

Пример 7. На перевозку груза направлены -1 автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Най­ти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделен­ных для этого автомобилей.

Решение, Вероятность противоположного события (машина неисправ­на) равна q= 1 -0,8 = 0,2. По формуле (10.9) находим искомую веро­ятность при п = 4;

Р(Л) = 1 -

10.3. Обобщение умножения и сложения вероятностей 10.3.1. Сложение вероятностей совместных событий

Определение 7. События А и И называют совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появление другого, Для таких событий справедлива следующая теорема.

Определение 8. Сулемой двух событий А и В называют событие С= А + В, которое состоит в появлении либо события Л, либо события В, либо Л и В одновременно.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в по­явлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема 10.3. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения:

Р(Л + В)= Р(Л) + Р(В) -Р(АВ). (10.10)

Из формулы (10.10) получается ряд следующих частных случаев: I. Для независимых событий с учетом формулы (10.7):

2   Глава 10. Основные положения теории вероятностей

Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В) - Р(А) Р(В). (10.11)

2. Для зависимых событий с учетом формулы (10.4):

Р(А + Й) = Р(Л) t P(ß)   Р(Л)РЛ(В). (10.12)

3. Для несовместных событий Р(АВ) - 0, и в этом случае имеем

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (10.13)

Пример 8. Вероятности поражения цели первым и вторым орудиями равны, соответственно, 0,8 и 0,9. Найти вероятность поражения цели при залпе,

Решение. Поскольку вероятности поражения пели орудиями (события Л и В соответственно) не зависят от результатов стрельбы каждого из напарников, то эти события независимы. Искомая вероятность рас­считывается но формуле (10.11):

Р (Л + В) = Р (Л) + Р (В) - Р(Л) Р (В) = 0,8 + 0,9 - 0.72 = 0,98.

В случае полной группы событий Л„ А2, .... А„ сумма их вероятностей равна единице:

Я(Л:) + Р(Лг) + ...*р(ЛГ1)=1. (10.14) 10.3.2. Формула полной вероятности

Пусть события Вц В2, .... В„ несовместны и образуют полную группу, т. е. выполняется равенство (10.14):

Р(В,) + Р(В2) + ... + Р(В *„) 1.

Пусть также событие Л может наступить при условии появления од­ного из событий В„ причем известны как вероятности РІВ,), так и ус­ловные вероятности Рп (Л) ((= t, 2.....я). В таком случае формула для

вероятности события А определяется следующей теоремой.

Теорема 10.4. Вероятность события Л, появление которого возможно лишь при наступлении одного из несовмегтных событий В„ образую­щих полную группу (i = 1, 2,.... п), равно сумме попарных произведе­ний каждого из этих событий на соответствующую условную вероят­ность появления события А:

Р(Л) = Р(В,) Р^ (Л)+ РІВ,) Р^ (Л) + ... + Р(ВЙ) Рв_ (Л). (10.15)

10.3. Обобщение умножения и сложения вероятностей 2

Пример 9. В двух урнах находятся белые и красные шары: в пер­вой — 4 белых и 5 красных, во второй — 7 белых и 3 красных. Из вто­рой урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что наудачу взятый после зтого из первой урны шар будет белым.

Решение. Переклады ваш le из второй урны в первую белого шара (со­бытие В,) и красного шара (событие В-,) образуют полную группу не­зависимых событий. Их вероятности, соответственно. Р(В,) = 0,7 и р(в2) - 0,3. Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара (событие а) при добавлении гуда белого или красного шара из второй урны равны рщ (а) = 05 и Р„г (Л) = 0,4соответственно. Искомая вероятность находится по формуле (10.15) при и = 2:

р(а) = рщ ) ря (Л) + Р(В,) pbi (Л) = 0,7 ■ 05 + 03-04 = 0,47.

10.3.3. Формулы Байеса

Пусть события В;, въ ... в„ несовместны и образуют полную группу, а событие Л может наступить при условии появления одного из них. События в, называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое ИЗ них наступит. Пусть произведено испытание и в результате появи­лось событие а. Тогда оказывается возможным определить условные вероятности гипотез йг по следующим формулам:

Р(В,)РВ(Л)

Рл {В>) = Р{В,) Ръ (Л) + р{в2) РН,(Л)+ ... + р(в„) pJÄj ~

= рів, ) р, (Л)/ J р<А ) щщ. = р(в, )рВі (Л)/ р(а), (10.16)

2=   1,     2,     .... П.

Формулы (10.16) называются формулами Байеса, по имени их автора. Они позвиляют оценить вероятность гипотезы в, во всех испытаниях, где наступает событие а. Иными словами, зная вероятность Я (в,) до проведения испытания, мы можем переоценить ее после проведения испытания, в результате которого появилось событие а.

Пример 10. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 об­служиваются первым операционистом и 40 — вторым операционистом. Вероятность того, чти клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляют 0,9 и 0,75 соот­ветственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом.

Решение. Вероятность ТОГО, что КЛИвНІ попадает к первому операцио­нисту (событие В,), составляет 0,6, ко второму — 0,4 (событие В-/). Ис­комая вероятность полного обслуживания клиента первым операцио­нистом (событие Л) определяется по формулам (10.15) и (10.16):

нва&1л) 06-09

РЛВ.) = ---'    * -=----=0,64,

1    P(Bl)P(A)+P(B.l)PH(A)  0,6 0,9 + 0,4 0,75

Иными словами, 64\% клиентов, попавших па обслуживание к перво­му операционисту, будет обслужено им полностью.

10.4. Схема независимых испытаний 10.4.1. Формула Бернулли

Определение 9. Если при проведении нескольких испытаний вероят­ность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми оіттсительио события А.

Будем рассматривать только такие независимые испытания., в кото­рых событие А имеет одинаковую вероятность. Г1гсть производится л независимых испытаний, в каждом из которых событие А может поя­виться с вероятностью р. Тогда вероятности противоположного собы­тия - нснаступления события А — также постоянна в каждом испыта­нии н равна Ц— - р. В теории вероятностей представляет особый ин терес случай, кигда в п испытаниях событие А осуществляется к раз и не осуществится и - k раз.

Вероятность зтого сложного события, состоящего из п испытаний, да­ется формулой Бернулли:

рат^сір'чґ пли р.<*) = ,    i4,fV'V (ю-!?)

к(и - я)!

Пример 1І. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый во­прос предлагается 4 варианта ответов, среди которых только пднн правильный. Найти вероятность Правильного ответа на 2, 3 и 4 вопро­са теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).

Решение. Искомые значения вероятности находятся по формуле Бер­нулли (10,17) с учетом того, что вероятность события А (правильный ответ) в каждом испытании (выбор ответа на вопрос теста) равна 0,25, a q = 0.75. Отсюда получаем:

1Ü.4. Схема независимых испытаний 193

РЛ(2) = С2(025У-(WS? =02L Л(3) = С43(025):і (0,75/ « Сф25У -0,75 =0,047; P,(i) = Cl(025Y -(0,75)" =Є\%ХЩУ =(025У =0,004. 10,4.2. Интегральная теорема Лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных и испытаний со­бытие Л появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных во­просах теории вероятностей наиболее употребимы определения веро­ятности события Авп испытаниях, когда к изменяется в заданном интервале значений 1<к< т. Соответствующая вероятность обозна­чают Р„(!, от) Формула дня приближенного нычислення отой вероят­ности устанавливается следующей интегральной теоремой Лапласа.

Теорема 10.5. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0<р< 1, Тогда вероятность того, что событие/! появится в п испытаниях от 1 до т раз. приближенно равна определенному интегралу:

где a = (-np)l'Jnjiq,   b = (т- np)j'yfnpli.

Формула (10.18) применима в случае больших значений п и к. При вычислениях по этой формуле пользуются специальными таблицами дня интеграла

поскольку соответствующий неопределенный интеграл не выражает­ся через элементарные функции. Таблица значений функции Ф (л) приведена в приложении. Эта функция является нечетной, поэтому в таблицах обычно приводят значення Ф (л) для положительных зна­чений верхнего предела интегрирования х. Более удобно использо­вать формулу (10.18) в виде формулы Ньютона—Лейбница:

Пример 12. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страхоной юное составляет 2000 лен. ед, вероят-

(10.19)

(10.20)

1Э 1221

2  Глава 10. Основные положения теории вероятностей

кость страхового случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при ст раховом случае составляет 200 тыс. ден. ед. Определить размер при­были страховой компании с вероятностью Р. а) 0,9; б) 0,995.

Решение. Прибыль компании зависит от числа страховых выплат k при страховых случаях. Будем полагать, что величина ее равна разно­сти между суммами страховых взносов и страховых выплат;

Ä = (20-0,2A>

Теперь задача состоит в нахождении такого числа .V, чтобы вероят­ность страхового случая Ртао (k > N) была бы не больше заданной ве­личины ! - Р, или, что то же самое, чтобы выполнялось условие

РШШ(К

Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит (20 - 0,2 .V) млн руб. Предварительные вычисления значений аргумента функции Ф(.г) при п= 10 000. ЫЫ и т = 10 000 по формулам (10.20) дают

V -ЯП

a=(N-np )fnpq = ——,   Ь = 0550/7.05 = 141134. 7,05

Из табл. 2 находим, что Ф (л) = 0,5 при | Jtr| > 5. Подставляя в приведен­ное ранее неравенство, получаем:

{ 7,05 J В атом случае имеем неравенство

05 -Ф

- < 0,1 или Ф--■ I £ 0,4.

I 7.05 ) { 7,05 ;

По табл. 2 находим, что при значении функции Ф (х) аргументх равен 1,28; поскольку функция Ф (г) является монотонно возрастающей, то неравенство между значеннями Ф (т) переходит в неравенство такого же смысла и для соответствующих аргументов:

У-50

7,05

> L28.

Отсюда получаем, что Л7> 50 + 9,02, или ,V> 60. В этом случае с веро­ятностью 0,9 страховой компании гарантирована прибыль

Л = 20-0,2-б0 =8 млн дсн. ед.

Упражнения 195

Проводя для этого случая аналогичные вычисления, получим, что iV>f)9. 13 атом случае с вероятностью 0.995 компании гарантирована прибыль

Л =20-02-69 = 0.2 млн ден. ед.

Из решенной задачи хорошо видно, что увеличение риска страхова­ния может привести к возрастанию прибыли компании. Это есть реа­лизация известного принципа в предпринимательской деятельности: менее рискованные, но более надежные финансовые операции не при­носят сверхприбылей.

Упражнения

10.1. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух ту­зов и двух королей.

10.2. Два букиниста обмениваются друг с другом парами книг. Найти число способов обмена, если первый букинист обменивает 6 книг, а второй — 8 книг.

10.3. Абонент забыл две промежуточные цифты номера телефона и набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер набран правиль­но в случаях: а) две разные цифры расположены в номере рядом; б) обе цифры расположены в разных местах, за исключением первой позиции.

10.4. В урне находятся 10 шаров, 7 из которых белых. Найти вероят­ность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.

10.5. В ящике имеется 15 деталей, из которых 10 стандартных. Сбор­щик наугад берет 3 детали. Найти вероятность того, что все взятые де­тали будут стандартными.

10.6. В урне 40 шаров: 15 белых, 15 красных н 10 синих. Найти веро­ятность появлення цветного шара.

10.7. В лотерее разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных выигры­шей на каждые 10 тыс. билетов. Чему равна вероятность выигрыша вообще?

10.8. В читальном заіе имеется 6 учебников, из которых три нового выпуска. Читатель последовательно, один за другим, взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обе ввитых книга нового выпуска.

10.9. Три автомашины направлены на перевозку груза. Вероятность исправного состояния первой из них составляет 0,7, второй — 0,8

13''

2   Глава Ю. Основные положения теории вероятностей

и третьей — 0,5. Найти вероятность того, что все три автомашины на­ходятся в эксплуатации.

10.10. В автохозяйстве имеются две автоцистерны. Вероятность тех­нической исправности этих машин составляет, соответственно, 0,9 и 0,8. Найти вероятность исполнения второй автоцистерной работы заказчику, сделавшему накануне заказ на автоцистерну.

10.11. Инвестор решил вложить поровну средств в три предприятия при условии возврата ему каждым предприятием через определенный срок 150 \% от вложенной суммы, Вероятность банкротства каждого из предприятий 0,2. Найти вероятность т ого, что по истечении срока кре­дитования инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму.

10.12. При проверке изделия на соответствие стандарту вероятность того, что оно пройдет через первого контролера, равна 0,55, а через второго — 0,45. Вероятность признания изделия без брака стандарт­ным у первого контролера равна 0,9, а у второго — 0.98. Контролеры имеют различную квалификацию. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие прошло через второго контролера.

10.13. Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок поразил цель, если ве­роятность попадання в цель стрелками равны 0.4, 0,3 и 0,5 соответст-Iієн по

10.14. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет роїию 50 девочек.

10.15. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 не­зависимых испытаний. Найти вероятность появления события: а) не менее 1470 раз; б) не менее 1470 и не более 1500 раз; в) не более 1469 раз.

10.16. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрослого че­ловека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, среди какого чис­ла взрослых человек можно ожидать, что в поликлинику будет не ме­нее 75 обращений.

10.17. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 кли­ентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. лен. ед, при условии возврата 110\% от этой суммы. Вероятность невозврата кре­дита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая при­быль гарантирована банку с вероятностью: а) 0,8; б) 0.995?