Название: Математика для экономистов - Красе М. С.

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 1488

Глава 11

Случайные величины

Определение 1. Величину называют случайной, если в результате ис­пытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не из­вестное и зависящее от случайных причин.

Каждой случайной величине соответствует множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может прини­мать целые значения от Ü до 100. Далее будем обозначать случайные величины строчными буквами, а их возможные значения — пропис­ными буквами. Различают два вида случайных величин.

Определение 2. Случайная величина, принимающая отдельные воз­можные значения с определенными вероятностями, называется дис­кретной случайной величиной,

Определение 3. Непрерывной называется случайная величина, кото­рая может принимать все ЗЕїаченпн из некоторого промежутка.

11.1. Дискретные случайные величины 11.1,1. Табличный закон распределения

Определение 4. Соответствие между отдельными возможными значе­ниями и их вероятностями называется законом распределения дис­кретной случайной величины.

Рассмотрим закон распределения дискретной случайной величины в виде соответствующей таблицы, состоящей из двух строк; первая указывает возможные значения, а вторая - их вероятности:

2   Глава 11. Случайные величины

Поскольку в одном, испытании случайная величина принимаеттолько одно возможное значение, то события А' = щ, X = х2,X = л„ образуют полную группу, т. е. сумма их вероятностен равна единице:

Р, +Р, *..-*/>. =1- (11-2)

Рели множество возможных значении А'дискретной случайной вели­чины бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна единице:

р, + р, +... + /), +...= 1. (п:з)

Пример I. Вероятностный прогноз для величины X — процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в те­чение шести месяцев — дан в виде закона распределения

X       5    10   15   20   25 т

Р      0,1 0,1 02 0,3 02 0.1

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3 \% за месяц сроком на 6 месяцев.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3 \% в месяц составит через 6 месяцев |(f ,03)в - 1] ■ 100 \% = 19,4 \%. Вероят­ность того, что покупка акции выгоднее банковского депозита, опре­деляется суммой вероятностен, соответствующих более высокому росту курса акций:

Р(Х > 194) = рл + рз + ps = 0,3 + 0,2 + 0,1 =0,6. 11.1.2. Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний, и в каждом из них со­бытие А может либо появиться, либо нс появиться. Пусть также веро­ятность р появления события А в каждом испытании постоянна (см. 10.4.1). В качестве дискретной случайной величины X рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, чтод-, = 0, хг = 1,ж3-2,л"„+| = п. Вероятности этих возможных значений Сдают­ся формулой Бернулли (см. формулу (10.17)):

я.<*) = 0*<Г*. (IM)

где q - I - р — вероятность противоположного события (непоявление события А в одном испытании). Формула (11.4) представляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины

11.1. Дискретные случайные величины 199

(числа появления события А в п независимых испытаниях), которое называется биномиальным; правая часть в (11.4) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Используя формулу (11.4), можно составить таблицу биномиального распределения.

Можно показать, что сумма всех вероятностен биномиального распре­деления равна единице, т. е.

£с(>У* =Р" +пр"-1д+... + С:Р*а^ +... + ,' =1. (11.5)

Пример 2. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона рас­пределения количества заемщиков, не вернувших кредит но оконча­нии срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. "Гак как заемщики действуют независимо, то выдачу кредитов можно считать за п = 5 не­зависимых событий. Вероятность невозврата к кредитов из 5 описы­вается биномиальным распределением (11.4), где/» = 0,2, q = 0,8, «при­нимает значения от нуля ло 5. Придавая последовательно в формуле (11.4) k значения от нуля до 5 и используя формулы для расчета С (см. 10.1.1. формулы (10.1)), получаем:

Л' 5 4        3        2 1 0

Р      0ДО032 0,0064  0,0512  02048 0,4096 0,32768

11.1.3. Распределение Пуассона

Пусть в каждом из н производимых испытаний вероятность появле­ния события А равна р. Для случая малых значений р и больших зна­чении п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта фор­мула выведена при важном допущении, что произведение нр является постоянной величиной, т. е. пр = . Тогда вероятность того, что собы­тие А наступит ровно k раз, дается формулой, которая представляет собой закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий

Pn(k) = ke'k/k. (11.6)

Пример 3. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в душ получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероят­ность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.

Решение. По условию задачи п - 10 000, /і = 0,0003, к = 4. Находим л, а затем по формуле (11.6) и искомую вероятность:

2   Глава 11. Случайные величины

І = ttp = 1р ООО ■ 0,0003 = 3,   Ptn т„ <4) = 3V */4! = 0.168.

11.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Установленный Закон распределения полностью характеризует слу­чайную величину. Однако часто используются числовые характери­стики случайной величины, которые дают некоторое оередненное опи­сание случайной величины, получаемое па основе закона ее распределения.

11.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть случайная, величина Л' имеет закон распределения (11.1).

Определение 5. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значе­ний па их вероятности:

.г

М(х) = х,р, +x,Pl +.._+хр„ =Х-гіРі- С11.7>

Из этого определения следует, что математическое ожидание есть не­которая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближен­но равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению случайной величины. Это хорошо видно в случае, когда вероятности всех возможных значений дискретной случайной величины равны р, = р = l/н в формуле (И.7).

Пример 4. Найти математическое ожидание невозврата кредитов по данным примера 2.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределения дискрет­ной случайной величины, данной в этом примере и формулой (11.7):

М (X) = 5 ■ 0,00032 + 4 - 0,0064 * 3 ■ 0,0512 * + 2 ■ 0,2048 + 1 ■ 0,4096 + 0 ■ 0,32768 = 1.

Укажем основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С:

11.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин 2

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х). (11.9)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожидании:

M(X, + Х3 +-+X.,) = M

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

МЩX.t ... Xя ) = МЩ )М(Х,)... М(Хщ ). (11.11)

Пример 5. Пуст ь ежедневные расходы на обслуживание и рекламу ав­томобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс.. ден. ед., а чис­ло продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распреде­ления

X        0     12    3    4    5     6     7      8 9 Р      0,25  0,2 0,1  0,1 0,1 0.1  0,05  0,05  0,025 0.025

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при пене ма­шины в 150 тыс. лен. ед.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывастся по формуле:

H = {1S0X- t20)

Искомая характеристика М(П) находится с использованием указан­ных ранее свойств математического ожидания (в тыс. ден. ед,):

М(П)=Л/(150Х- 120)= 150А/(Х)   120 = = 150-2,675- 120 = 281,25.

11.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины

Определение 6. Разность между случайной величиной и ее математи­ческим ожиданием называется отклонением: X - М (.V).

Определение 7. Математическое ожидание квадрата отклонения на­зывается дисперсией, пли рассеянием:

D(X)=M[X-M(X). (11.12) Формула дисперсии в развернутом виде:

D(.v) = [a-, • M(X)VPl н[х3 -M(X)]2ps + ...+ (ШЗ)

2   Глава 11. Случайные величины

При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, кото­рая непосредственно выводится из формулы (11.13):

D(X) = M(X1)-[M(X)]1. 01.14)

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 5.

Решение. Закон распределения случайной величины Xі имеет вид

Х-      0     1    4    9   16 25   36    49     64 81 Р     025  02 0.1 0,1 0,1  0,1 0,05  0,05  0,025 0,025

Математическое ожидание М(X7) подсчитыяается из этой таблицы:

М(Х1) = 0 • 0,25 + 1 ■ 0,2 + 4-0,1 + 9-0,1 + 16-0,1+25-0,1 + + 36 - 0.05 + 49 - 0.05 * 64 - 0,025 + 81 ■ 0,025 = 13,475.

Математическое ожидание Л/(X) = 2,675. Следовательно, согласно формуле (11.14), получаем искомую величину дисперсии:

D(X) = М(Х* )~[M{X)f = 13.475 -7,156 =6,319.

Приведем основные свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

ZJ(Q = 0. (11.15)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возво­дя его в квадрат:

D(CX)=C2D(X), (И.16)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

ШЩ + Хг + ... + Х„) = ВЩ) + D(X2) + ... + D(X„). (11.17)

Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D (X + С) = D (X), і де С — по­стоянная величина. Кроме того, дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

D(X) = np(i- р) = npq. (11.18)

Приведем здесь еще два важных результата: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (11.6), математическое ожидание и дисперсия равны параметру X данного распределения.

11.2, Числовые характеристики дискретных случайных величин 2

Пример 7. Банк иыдал кредиты п разным заемщикам в размере 5 ден. сд. каждому под станку ссудного процента г. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли балка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата кредита заемщиком равна /).

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно по­лагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери кредита для банка в каждом испытании равна д= 1 -р. Пусть Л" — число заемщиков, возвративших кредит со ссудными процентом, то­гда прибыль банка определяется формулой

П = О4г/100Щг-я5.

X является случайной величиной с биномиальным законом распре­деления. Тогда математическое ожидание прибыли, согласно (11.7), равно:

Л7(П)=(1 * r/QQ)S-M(X)-nS = (] + r/lOO)Snp-Sn = Sn(rp/l№-q).

Поскольку выдача кредита имеет смысл лишь ирн положительном математическом ожнлании прибыли (положительная средняя вели­чина прибыли), го из условия М(П)> 0 вытекает условие на ставку ссудного продета

r>lÜQq/p или г> 100(1-р)1р.

Дисперсия прибыли банка, согласно формуле (11.18) и свойствам 1--3,

Д(П)= ö((1 + r/U)0)i'X -nS) = (i + r/100)2S2npq. 11.2.3. Среднее каадратическое отклонение

Определение 8. Средним квадрати чески м отклонением случайной ве­личины Л'(стандартом) называется квадратный кореиьпл ее дисперсии

о(Аг) = ^П(А'). (11.19)

Из свойства 3 и формулы (11.17) следует, что в случае суммы взаимно независимых случайных величин справедлива формула

а(Х, +Х, + ... + X.) =      (А',) + а3 (X, )+■... + aT(XJ. (11.20)

Пример 8. В условиях примера 7 найти математическое ожидание и среднее квадрат и чес кое отклонение прибыли при и= 1000, р = 0,8, S = 100 тыс. ден. ед. и г = 30 \%.

I I'

2   Гпава 11. Случзйные величины

Решение. Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы ма­тематическое ожидание прибыли было положительным'. 30 > 100 (1 -- 0,8)/0Д Математическое ожидание прибыли

M(U) = Sn (rp/100 - q) = 100 • 1000 (ЗО ■ 0,8/100 - 0,2) = = 4 млн ден. ед.

Среднее квадратическое отклонение прибыли

а(х) = ЩХ) = (і + r/m)sjnp~q = 1,3-100 ^юоо-0^-02 =

= 1644.38 тыс. ден. ед.

11.2.4. Коэффициент корреляции

Определение 9. Коэффициентом корреляции, или корреляционным моментом, случайных величин X и У (или конариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений

uft -Cov(A Y)=M{X-M(X)\[Y -M(Y)). (11.21)

Корреляционный момент служит для описания связи между случай­ными величинами X и К. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что ц1ч можно записать в следующем виде:

Р„ =M{XY)-M(X)M{Y). (11.22)

Для непосредственного вычисления используется формула

М.„ =І Іх<У,Рї-М(Х)МО'У (11.23) i-i /-і

Из формулы (11.22) следует, что корреляционный момент двух неза­висимых случайных величин равен нулю. Если корреляционный мо­мент ищ не равен нулю, то величины X и Y являются зависимыми.

Определение 10. Коэффициентом корреляции случайных величин А' и У называется отношение их корреляционного момента к произведе­нию средних квадратическнх отклонений этих величин:

гщ =pw/(oI^) = Mj¥/,/W D(Y). (П.24)

Коэффициент корреляции является безразмерным и не зависит от выбора системы измерения случайных величин, а его абсолютная ве­личина не превосходит единицы:

kj

11.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин 2

Определение 11. Две случайные величины X и У называется коррели­рованными, если их корреляционный момент (коэффициент корреля­ции) отличен от нуля; если же их корреляционный момент равен нулю, то X и Указываются некоррелированными.

Таким образом, две коррелированные случайные величины (т. с. при rXIJ * 0) являются также И зависимыми. Обратное утверждение невер­но, Т. е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

11.2.5. Линейная регрессия

Пусть (X, У) — двумерная случайная величина, гдеХи Y зависимые случайные величины. Оказывается возможным приближенное пред­ставление величины У в виде линейной функции величины X:

Y = аХ і Ь, (11.26)

где а и Ъ — параметры, подлежащие определению. Обычно эти вели­чины определяются с помощью метода наименьших квадратов (см. 8,5.3). Функцию g(x) называют средпеквадратической регрессией У наХ.

Теорема 11.1. Линейная средняя квад рати чес кая peqieccufl У на А" имеет вид

g{X) = m4 +г^{Х-т,). (11.27) ог

где гл определяется формулой (11.24), mt- М (У) и т, = М (X) — мате­матические ожидания, соответственно, случайных величин У н X.

Коэффициент b = ау jay называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую, реализующую линейную зависимость (11.27) случайной величины У от случайной величины X,

9-Щ = .^(х-т). (11.28)

- прямой средиеквадритической регрессии Ула X. Поскольку зависи­мость (11.27) является приближенной, то существует погрешность ЭТОГО приближения, называемая остаточной дисперсией:

£г =ala-r*). (11.29)

Для оценки среднеквадратичной погрешности линейной регрессии обычно используют величину £.

2   Глава 11. Случайные величины

11.3. Непрерывные случайные величины

11.3.1. Функция и плотность распределения вероятности

Пусть X — непрерывная случайная величина (см. определение 3), зна­чения которой сплошь заполняют интервал (а, Ь).

Определение 12. Функцией распределения случайной величины X на­зывается функция F(t), определяющая вероятность того, что X при­мет значение, меньшее .к

F(x)  Р(Х<х). (11.30) Функция распределения обладает рядом фундаментальных свойств:

1. Область значении функции распределения лежит на отрезке [0,1]:

0

2. Функция распределения является неубывающей, т. с.

F(,Xj)>f(xl) при т2>.т,. (11.32)

3. Если возможные значения случайной величины находятся на ин­тервале (а, /)), то F(x) -0 при х<а и Г(т) = 1 при х>Ь.

Из указанных свойств вытекают важные следгтвня:

1. Вероятность того, что случайная величина X принимает значения, заключенные внутри интервала (а, [1). равна разности значений функ­ции распределения на концах этого интервала:

Р(а < X <ß) = F(ß)-F(a). (11.33)

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения непрерывной случайной величины X расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие пре­делы:

lim F(x) = 0,    limF(.v) = l. (П.34)

График функции распределения непрерывной случайной величины показан на рис. 11.1.

Определение 13. Производная от функции распределения непрерыв­ной случайной величины X называется плотностью распределения ве­роятностей X:

/<.т) н F' (Jf). (11.35)

11.3. Непрерывные случайные величины 207

Рис. 11.1. График функции распределения непрерывной случайной величины

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или неопределенным интегралом от нее. Отсюда справедливо равенство

Р(а < X < ß) = j /(j) dx. (II .36)

D

Связь между функцией распределения (11.30) и плотностью распре­деления ве роя та остей устанавливается формулой

F(x) = P(X

(11.37)

Укажем основные свойства плотности распределения вероятности: 1. /(*)>0. (11.38)

/{х)ах = .

(11.39)

Это равенство означает достоверность того события, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (-°о, со). Если все возможные значения случайной величины X лежат внутри интервала (а, Ь), то

(11.40)

11.3.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Определения числовых характеристик дискретных случайных вели­чин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит

2   Глава 11. Случайные величины

в том, что вместо сумм в формулах (11.9) и (11.14) берутся их инте­гральные аналоги. Формулы для математического ожидания и дис­персии

М(X) = Jxf (X) dx.   D(X) = fx-M(X)ff(x) dx. (11.41)

В том случае, когда возможные значения случайной величины Л" за­полняют всю ось О.т, то пределы интегрирования а и h бесконечны: а = -та, & = оо. Возможны также случаи, когда один на пределов ин­тегрирования бесконечен (возможные значения X лежат на полу­прямой).

Среднее квадратическос отклонение непрерывной случайной величи­ны определяется, как и прежде, по формуле (11.19):

Для вычисления дисперсии употребляется более удобная формула, которая выводится из второй формулы (11.41):

Пример 9. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическос отклонение случайной величины X. заданной плотно­стью распределения на отрезке |0. 1]:

Решение. Согласно формулам (11,41), (11-42) и (11.19), последова­тельно вычисляем искомые величины:

а(Х) = Щх].

(11.42)

і,

fix)'   1,     -Г Є [0, 1|.

М (X) = j X f {X) dx = j X dx = - X' ' = 1.

D(X) = x*f

ct(A') = tJD(X) = і/2л/3 * 0289

11.4. Основные распределения непрерывных случайных величин 2

11.4. Основные распределения непрерывных случайных величин

11.4.1. Равномерное распределение

Определение 14. Распределение вероятностен называется равномер­ным, если па интервале возможных значении случайной величины ПЛОТНОСТЬ распределения является постоянной.

Из равенства {11.39) следует, что плотности равномерного распреде­ления дается формулой

О, X <а

/(.)) = ■ Xj(b-ci). а <х, (11.43) О, .с > Л.

График плотности равномерного распределения приведен на рис, 11.2.

Ш і

t/(ft - я)

Рис. 11.2. График плотности равномерного распределения

Пример 10. НаЙТи среднеквадратпчеекое отклонение случайной ве­личины X. распределенной равномерно на интервале (1. 5).

Решение. Согласно формуле (1143), плотность распределения указан­ной случайной величины является ненулевой и равной 0,25 на интер­вале (1,5). По формулам (11.41) и (11.42) последовательно вычисля­ем при а = 1 и b = 4:

MlX}^ x QM dx =0,125 Xі

= 0,125 (25-1) = З;

D(X) = fx2Q25 dx-31 = 035 —

-9=133;  o-(A-) = VL33 = 1.12

2   Глава 11. Случайные величины

11.4.2. Нормальное распределение

Определение 15. Общим пормальнъш распределением вероятностей непрерывной случайной величины X называется распределение с плотностью

/(*)=    Х (11.44) aV2Ti

График плотности нормального распределения (11.44) для разных значений а показан на рис. 11.3.

0 а X

Рис. 11.3. График плотности нормального распределения [1144) для разных значений а

Нормальное распределение задается двумя параметрами: а и ст. По оп­ределениям математического ожидания и дисперсии (формулы (11.41) и (11.42)), после выполнения соответствующих интегрирова­ний можно вывести, что для нормального распределения справедли­вы формулы

М (X) =а,   D (X) = оЛ   а (X) = о. (11.45)

Определение 16. Нормальное распределение с параметрами а = 0 и о = 1 называется нормированным; его плотность

* (11.46)

Для случая нормированного нормального распределения функция распределения имеет вид

F(x)= f(z)(k = -L: е.-р!2 dz. (11.47)

11.4. Основные распределения непрерывных случайных величин   2

Поскольку функция (it.46) яилястся четной, то неопределенны]! ин­теграл от нее является нечетной, и вместо него используется функция Лапласа, часто обозначаемая как jV(0, 1) (см 10.4.2)

q>(t) = -L fe-cV2 аг. (11.48)

Функции (11.47) и (11.48) табулированы (см. приложение 2).

В заключение этого раздела приведем две важные характеристики.

Модой Л/в (Л) называется возможное значение случайной величины X, при котором плотность распределения имеет максимум. Медистой Ма (X) называется такое возможное значение случайной величины X, что вертикальная прямая х = М0 (X) делит пополам площадь, ограни­ченную кривой плотности распределения.

Пример П. Магазин продает мужские костюмы. Поданным статисти­ки известно, что распределение по размерам является нормальным с ма­тематическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными 48 и 2 соответственно. Определить процент спроса на 50-й размер прн условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).

Решение. По условию задачи а = 48, о = 2, а = 49, ß = 51. Используя формулу (J1.36). получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале

Р(49<Х<50) = Ф((51 -48)/2) -Ф((49 - 48)/2) = = Ф (1,5) - Ф (0,5) = 0,4332 - 0,1915 = 0,2417.

Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24 \%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

11.4.3. Распределение у} Пирсона

ПустьХь Хг,.... Х„ — нормально распределенные независимые случай­ные величины с параметрами а = 0 и о = 1. Тогда сумма их квадратов

Xі - X* + Х2 +...+Х; (11.49)

называется у? -рас пределен нем с п степенями свободы. Доказано, что плотность этого распределения определяется формулой

f(jc)=x"'2-,e'r' / (Т12 Г (и/2)),   т>0, (11.50)

2   Глава 11. Случайные величины

где Г (л) = j tl'le~*dt — гамма-функция.

Распределение х2 определяется только одним параметром - числом степеней слободы п. Графики функции (11.50) для разных п показаны на рис. 11.4.

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0.1 0

0 10 20 30 40

Рис. 11.4. Графики функции (11.50) для разных значений п

11.4.4. Распределение Стьюдента

Пусть Z— нормальная случайная величина с параметрами а = 0 и а = І, a Y— независимая от Z величина, распределенная по закону у? С к степенями свободы, Тогда случайная величина, распределенная по закону

T^Z/^VJn, (11.51)

называется распределением Стьюдента (псевдоним английского ста­тистика В. Госсета) с п степенями свободы. Плотность этого распреде­ления лается формулой

С возрастанием п распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному (рис. 11.5).

Рис. 11.5. Распределение Стьюдента

Упражнения 213

11.4.5. Распределение Фишера

Пусть V и V — независимые случайные величины, распределенные но закону Xі Щ степенями свободы тип соответственно. Тогда величи­ну, распределенную по закону

fÄ (11.53) V/n

называют распределением Фишера со степенями свободы т и п. Плотность этого распределения дается формулой

^.„ІМ^,* Чтх + ЇР**т, х>0. (11.54) Г(т/2)Г(п/2)

Упражнения

HÜ, Из коробки с пятью деталями, среди которых четыре стандарт-пых, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дис­кретной случайной величины Ä — количества стандартных деталей среди отобранных.

11.2. Книга издана тиражом 100 тыс. экземпляров. Вероятность брака в экземпляре равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содер­жит ровно 5 бракованных книг.

11.3. Случайная составляющая дохода равна 2Х, а случайная состав­ляющая затрат равна 50У. Найти дисперсию прибыли при условиях; величина А' распределена по биномиальному закону с параметрами п = 100, р = 0,5; величина У распределена по закону Пуассона с пара­метром к - 2; случайные величины X и У являются независимыми.

11.4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случай­ной величины X, заданной законом распределения

X -5234

Р      0,4  0,3 0,1 02

11.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины А'—числа отказов элемента некоторого устройства в t0 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9,

11.6. Непрерывная случайная величина X задана на всей оси 0д_функ­цией распределения F(x) = 1/2 + (arctg х)/п. Найти вероятность того, что величина X примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

2   Глава 11. Случайные величины

11.7. Случайная величина X задана функцией распределения

0. X <2.

F(x) •■■ 05-v-t 2<х

1, д- > 4.

Найти вероятности того, что А' примет значения: а) менее 0.2: 6) менее 3; в) не менее 3; г) не менее 5.

11.8. Дискретная случайная величина задана законом распределения

А' 3 4 7 10 Р    02 0.) 0.4 0,3

Найти функцию распределения и построить ее график.

11.9. Дана плотеюсть распределения непрерывной случайной величи­ны А'

0, X < л/6,

3 sin3v, тг/6 < X < л/3. 0, .г > г/3.

Найти функцию распределения F(x).

11.10. Случайная величина А' задана на положительной полуоси Ох функцией распределения F(x)-i-e'u (ü>0). Найти математиче­ское ожидание величины А'.

11.11. Случайная величина Аг задана на интервале (0, 5) плотностью распределения /(.т) = 2лг/25; вне этого интервала f(x) = 0. Найти дис­персию X.

11.12. Случайная величина X задана плотностью распределения /(.v) = fTlT'/2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

11.13. Случайная величина задана функцией распределения:

Fix) ­0, X <х0г

1~хЦх хкх, С«в >0).

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратиче­скос отклонение.

11.14. Найти дисперсию и среднее квадратическос отклонение слу­чайной величины А, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

11.15. Размер мужских сорочек является случайной величиной с нор­мальным законом распределения, математическим ожиданием 39 и дисперсией 9. Какой процеїгт от общего объема заказа следует преду­смотреть магазину для сорочек 40-го размера воротничка при усло­вии, что этот размер находится в интервале (39,5, 40,5)?

11.16. Найти формулу плотности вероятности нормально распреде­ленной случайной величины X, если математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 16.

11.17. Случайная величина X распределена нормальна с математиче­ским ожиданием я = 25. Вероятность попадания А' в интервал (10, 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания X в интервал (35, 40).