Название: Математика для экономистов - Красе М. С.

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 1487

Глава 12

Элементы математической статистики

Мат ематическая статистика является частью общей прикладной мате­матической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят специфический ха­рактер. Если теория вероятностей нсслелуег явления, полностью за­данные их моделью, то в математической статистике вероятностная модель определена с точностью до неизвестных параметров. Отсут ­ствие сведений о параметрах компенсируется «пробными* испыта­ниями, на основе которых и восстанавливается недостающая инфор­мация. Цель математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Первая задача математической статистики состоит в указании мето­дов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача —это разработка методов анализа статистических данных: оценки неизвест­ных вероятности события, а также функций И параметров распределе­ния; опенка зависимости случайной величины от других случайных величии: проверка статистических гипотез о виде и величинах пара­метров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из этих вопросов.

12.1. Выборочный метод 12.1.1. Выборки

На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересую­щей нас совокупности) проводят краппе редко. К тому же. если эта со­вокупность содержит большое числообъектов или исследование объ­екта требует нарушения его функционального стандарта, то сплошное

12.1. Выборочный метод 2

исследование нереально. В таких случаях из всей совокупности слу­чайно отбирают ограниченное число объектов и подвергают их иссле­дованию.

Введем основные понятия, связанные с выборками. Генеральной сово­купностью называется совокупность объектов, из которых произ­водится выборка. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной сово­купности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 из­делий. Тогда обьем генеральной совокупности Ы= 2000. а объем вы­борки я = 100.

Выборку можно осуществлять двумя способами. Если после исследо­вания объект из выборки возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной (возвратной); если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной (безвозвратной).

Выборка называется репрезентативной (представительной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности.

12.1.2. Способы отбора

Различают два вида способов отбора: без расчленения генеральной со­вокупности на части и с расчленением, К Первому виду относятся про­стые случайные отборы (повторные либо бесповторные), когда объек­ты извлекают по одному из генеральной совокупности; такой отбор можно производить с использованием таблицы случайных чисел.

Второй способ отбора включает в себя следующие разновидности со­ответственно способам расчленения генеральной совокупности, От­бор, при котором объекты отбираются из каждой «типической» части генеральной совокупности, называется типическим. Например, отбор деталей из продукции каждого станка, а не из их общего количества, является типическим. Если генеральную совокупность делят на число Групй, равное объему выборки, с последующим отбором из каждой группы по одному объекту, m такой отбор называется мехапичестш. Серийным называется отбор, при котором объекты отбираются не по одному, а сериями; этот способ используется, когда исследуемый при­знак имеет незначительные колебания в различных сериях.

На практике часто употребляется комбинирование перечисленных способов отбора. Например, генерал тагу ю совокупность разбивают

2   Глава 12. Элементы математической статистики

на серии одинакового объема, затем случайным образом отбирают не­сколько серий и в завершение случайным извлечением отдельных объектов составляют выборку. Конкретная комбинация способов от­бора объектив из генеральной совокупности определяется требовани­ем репрезентативности выборки.

12.1.3. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п, в которой значение зг, некоторого исследуемого признака X наблюда­лось та, раз, значение ос2 — п2 раз, значение т*-н> раз. Значения х, называются вариантами, а их последовательность, записанная в воз­растающем порядке, — вариационным рядом. Числа п, называются ча­стотами, а их отношения к объему выборки

— отноашельиылш частотами. При этом j^n, = п. Модой Мй называ­ется варианта, имеющая наибольшую частоту. Медианой тр называет­ся варианта, которая делит пополам вариационнмй ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т. е. k-2l+ 1, то тг-~х,*с, если же число вариант четно (&-■ 21), то тг = Щ + xUi )/2. Рашахом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, ко­торому принадлежат все варианты выборки:

Перечень вариант и соответствующих им частот называется стати­стическим распределением выборки. Здесь имеется аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностен — это со­ответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — это соответствие ме­жду наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами). Нетрудно видеть, что сумма относительных частот равна

(12.1)

Пример 2. Выборка задана в виде распределения частот:

X 4 7 8 12 17 п      2  4  5   6 3

Найти распределение относ [[тельных частот и основные характери­стики вариационного ряда.

12.1. Выборочный метод 2

Решение. Найдем объем выборки: « = 2 + 4 + 5+6 + 3 = 20, Относи­тельные частоты равны: IV, = 2/20 =0,1; №,=4/20 = 0,2: W3 = 5/20 =0,25; W4 = 6/20 = 0.3; "/s = 3/20 = 0,15 соответственно. Контроль: 0,1 + 0,2 + + 0,25 + 0,3 + 0,15=1. Искомое рас п редел енне относительных частот имеет вид

хі      4    7     8    12 17 W,     0,1  Ш 025  0,3 0,15

Мода этого вариационного ряда равна 12. Число вариант в данном случае нечетно, k = 2 - 2 + 1, поэтому медиана тг =Щ = 8. Размах варьи­рования, согласно формуле (12.2), R = 17 - 4 = 13.

12.1.4. Эмпирическая функция распределения

Пусть и, - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака X, меньшее .v. При объеме выборки, равном л, относительная частота события X < х равна «т/я.

Определение 1. Функция, определяющая для каждого значения х от­носительную частоту события Х<х,

F*(x)   njn (12,3)

называется эмпирической функцией распределения, или функцией распределения выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения F* (х) выборки функция распределения Р(х) генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Различие между ними состо­ит в том, что функция F(x) определяет вероятность события Х<х, а F* (л) — относительную частоту этого события. Из теоретических результатов обшей теории вероятностей (закон больших чисел) сле­дует, что при больших п вероятность отличия этих функции друг от друта близка к единице:

im.P[F{x)-F9 (ху<г] = 1,   Е > 0. (12.4)

Нетрудно увидеть, что F* (х) обладает всеми свойствами F(.t), что вы­текает из ее определения (12.3):

1) значения F* (т) принадлежат отрезку [0, 11;

2) F* (х) является неубывающей функцией;

3) пусть х„ и jfw — соответственно, минимальная и максимальная ва­рианты, тогда F* (.г) = 0 при ас < хт и Р (х) = 1 при х £ хм.

2   Глава 12. Элементы математической статистики

Сама же функция F* (х) служит для оценки теоретической функции распределения F(x) генеральной совокупности.

Пример 3. Построить эмпирическую функцию по заданному распре­делению выборки:

X, 2 4 6 л,     10  15 25

Решение, Находим объем выборки: и = 10 +■ 15 + 25 = 50. Наименьшая варианта равна 2, позтому F* (х) =0 при х< 2. Значение А'< 4 (пли Т; = 2) наблюдалось 10 раз, значит, F* (х) = 10/50 = 0,2 при 2<х< 4. Значения .Y< 6 (а именно Хх = 2 и х2 =4) наблюдались 10 + 15 = 25 раз, значит, при 4 < .т < 6 функция F* (х) - 25/50 ~ 0,5. Поскольку х = 6 максимальная варианта, то F* (х) - 1 при.г > 6. Напишем формулу ис­комой эмпирической функции:

[0, X < 2, v 2< X < 4.

■    ] '0& 4<т<6,

График этой функции показан на рис. 12.1.

і

0.5

0,2

1-т---1---с---

0       2      4     б *

Рис. 12.1. График эмпирической функции по данным примера 3

12,1.5. Полигон и гистограмма

Каждую пару значений (х„ л() из распределения выборки можно трак­товать как точку на координатной плоскости. Точно так же можно

12.1. Выборочный метод 2

рассматривать и пары значения (л,, и/) относительного распределе­ния выборки. Ломаная, отрезки которой соединяют точки (.rf. rt,), на­зывается полиюном частот. Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки (х0 W,), называется полигоном относительных час­тот. На рис. 12.2 показан полигон относительных частот для распре­деления, приведенного в примере 2.

0,3

0.2

0,1

12 I6

20

Рис. 12.2. Полигон относительных частот распределения по данным примера 2

Для случая непрерывного признака А' удобно разбить интервал (хтЫ, 1тт.иг) его наблюдаемых значений на несколько частичных интерватов длиной h каждый и найти для каждого из этих интервалов сумму час­тот п„ попавших в него. Ступенчатая фигура, состоящая из прямоуголь­ников с основаниями длиной h и вы­сотами njh (плотность частоты), называется гистограммой частот. Геометрический смысл гистограм­мы: нетрудно увидеть, что площадь ее равна сумме всех частот, или объ­ему выборки. На рис. 12.3 изобра­жена гистограмма выборки объема «=100.

Аналогичным образом определяется и гистограмма относительных частот. Высоты прямоугольников, составляющих ступенчатую фи­гуру, определяются отношениями сумм относительных частот, по­падающих в интервал (j;min + (J - 1) A, a-min + jh), к длине интервала А, т. е. величинами Wj/h, В этом случае площадь гистограммы отно­

п,/п

1

Л 2 1

0    10 20 30 40 50 60 70 л

Рис. 12.3. Пример гистограммы выборки объема п = 100

2   Глава 12. Элементы математической статистики

сительных частот равна единице (сумме относительных частот вы­борки),

12.2. Статистические оценки параметров распределения

Рассмотрим значения количественного признаках^х,,.... х„ в выборке как независимые случайные величины Х„ Хг,.... Х„. Тогда нахождение статистической оценки неизвестного параметра теоретического рас­пределения означает отыскание функции от наблюдаемых случайных величин, которая и даст нам приближенное значение искомого пара­метра.

12.2.1. Виды статистических оценок

Несмещенной называется статистическая оценка 0*. математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру 6 при любой вы­борке;

М(Є.) = Є. (12.5)

Смещенной называется оценка, при которой условие (12.5) не выпол­нено. Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п Состоятельной называет­ся статистическая оценка типа (12А). которая при п -> х> стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Теперь укажем виды числовых характеристик оценок. Прежде все­го — это средние. Генеральная средняя для изучаемого кол ичесгвен но­го признака X по генеральной совокупности

X. =(дг, +x.j + ... + хк)/ N

и выборочная средняя

хп =(Д, +ДГ, + ... xk)f п.

Если значения [гризнака х„ х-,,.... щ в выборке имеют, соответственно, частоты л,, щ,.... nk, то последнюю формулу можно переписать в виде

X, =-1»;.т,. (12.6)

Можно показать, что выборочная средняя (12.6) является несмещен­ной оценкой; это аналог математического ожидания случайной вели­чины X*

12.2. Статистические оценки параметров распределения 223

Введем в рассмотрение величины, характеризующие отклонение зна­чений количественного признака X от своего среднего значения. Это генеральная дисперсия и выборочная дисперсия

О. --£<*, --тм У — 2>,<* -.тяГ и м я Тії

(12.7)

Для вычисления этих характеристик используются более удобные формулы, аналогичные дисперсии случайной величины; так, вторая формула (12.7) для выборочной дисперсии принимает вид

°. -<*, У- (12.8)

Соответственно определяются генеральное и выборочное средние квйд-ратические отклонения:

о, =VÖt4 -л/Я- (12.9) Пример 4. Выборка задана таблицей распределения

х, 12 3 5 щ    15 20 10 5

Найти выборочные характеристики: среднюю, дисперсию и среднее квадратическос отклонение.

Решение. По формуле (12.6) сначала находимха:

15-1 + 20-2+10-3 + 5-5    ПО пп

г  =---=-= 12,

15 + 20 + 20 + 5 50

Затем по формулам (12.8) и (12.9) находим две другие искомые вели­чины:

D„ = (15- 1 + 20-Л + 10-9 + 5 -25)/ 50-2^- =62-4,84 = 1,36, а„ =JcT = Дзб * Цбб.

12.2.2. Эмпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборок используют эмпи­рические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка s называется

2   Гпзва 12. Элементы математической статистики

среднее значение 5-х степеней разностей .г, - С, где X, — наблюдаемая варианта, С — произвольная постоянная (ложный нуль — либо мода, либо любая варианта, расположенная примерно в середине вариаци­онного ряда):

К =-1>(-г, -П (12.10)

При С= 0 имеем начальные эмпирические моменты порядка s; в част­ности, в случае 5= I

Гі Й

Центральным эмниричеекгьм моментом порядка s называется обыч­ный момент (12.10) при С =-t„:

=~ТпМ,-^ьУ- (Ші)

В частности, центральный момент второго порядка

щ =-X«,(.v, -х,)2 = (12.12)

иными словами, это совпадает с выборочной дне перс пей.

12,2.3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Нормальное распределение является одним из самых распространен­ных в применениях математической статистики. Для оценки отклоне­ния эмпирического распределения от нормального используют сле­дующие характеристики.

Асимметрия эмпирического раїпределения определяется следующим равенством:

~ЩЫХ,. (12.13)

Эксцесс эмпирического распределения определяется следующим равен­ством:

е> =т.,/о-: -3. (12.14)

В формулы (12.13) и (12.14) входят центральные эмпирические мо­менты, определяемые формулами (12.11), а также выборочное среднее квадратнческое отклонение (12.9). Асимметрия и эксцесс служат для сравнения полигона эмпирического распределения с нормальным

12.2. Статистические оценки параметров расвределения 225

распределением: знак а указывает на расположение длинной части ломаной относительно математического ожидания (справа при as>q и слева при а,< 0); Є), характеризует «крутизну» ломаной (при et > 0 сравниваемая кривая более высокая и острая, при et < 0 она более низ­кая и плоская).

Пример 6. Найти асимметрию и зкецее эмпирического распределе­ния:

варианта 1 2 3 4 5 6 10 частота      5   10  15  35   16  15 4

Решение, Найдем сначала х, и о„ но формулам (12.6)—(12.9): _    5-1+ 10-2+ 15-3+35-4 + 16-5 + 15-6+ 4-Ю „_

у   —---.___—_.__.____ — еу-

5 + 10+15 + 35 + 16 + 15 + 4 „    5 ■ 1 + 20 ■ 4 + 15 • 9 + 35 ■ 16+ 16 ■ 25 + 15 ■ 36 + 4 ■ 100   1п2 ,JCf.

я=-- шо --=4^ =дза

о„ = V356 = Ш87.

Далее, используя формулы (12.11). определяем центральные эмпири­ческие моменты третьего и четвертого порядков:

=(5 (-32):| 110 (~2.2)я + 15 •< 1,2)* +35 (-02)3 + 16 ■ 033 + + 15 - 1.83 +4 - 5,83)/100 =579,6/100 = 5,796;

Щ =(5 (-32/ + 10 (-2,2/ + 15 ■ (-12)* +35 ■ (-Q2)4 +16 ■ ОуВ' + + 15 ■ ІЗ4 + 4 ■ 5,8і )/100 = 5480,32/100 -5.18032

Затем по формулам (12.13) и (12.14) находим искомые величины:

а, = 5.796/13873 = 0,863;   »i = 548032/1887* = 4,324.

12.2.4. Доверительный интервал

Заметим, что все оценки, приведенные ранее, определяются одним числом, т. е. являются точечными. При малых объемах выборки то­чечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра. Более широкое применение получил метод доверительных интервалов, разработанный американ­ским статистиком Ю. Нейманом. В дальнейшем этот метод нам пона­добится.

Определение 2. Доверительным интервалом для параметра Є с на­дежностью оценки р называется числовой промежуток (В* - S, 6* + 6),

2   Глава 12. Элементы математической статистики

содержащий истинное значение данного параметра с вероятностью, равной р:

Р<Є*-5<9<9*н-8)=р, (12.15)

где 0* - оценка неизвестного параметра 0 (например, точечная оцен­ка), 5 > 0 — некоторое число.

Обычно надежность оценки р задается числом, близким к единице. Иными словами, доверительный интервал покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью. Число а= 1 —р называется уров­нем значимости. Общая схема построения доверительных интервалов сводится к следующему:

1. Рассматриваются теоретические выборки случайных величин, с рас­пределениями которых связан параметр 9.

2. Подбирается случайная величина Ус известным распределением, значения которой определяются выборками и параметром 0: У= Y (0),

3. По известному распределению У подбираются числа У, и У2 такие, чтобы выполнялось равенство Р (У, < У (Ö) < У2) = р.

4. По значениям У, и У3 определяется число 5 > 0 при известном зна­чении 9*. Таким образом условие (12.15) будет выполнено и довери­тельный интервал построен.

Пример 7. Найти доверительные интервалы надежности р, = 0,95 ир!= 0,99 для нормальной случайной величины X с функцией распре­деления iV(0, I) — см. формулу (11.48).

Решение. В первом случае р/2 = 0,475; из равенства Ф(т) = 0,475 по табл. П.1 определяем .т= 1,96, т. е. при уровне значимости ос = 0,05 Хе( 1.96; 1,96). Во втором случае из аналогичного равенства Ф (т) = 0,495 получаем .т-2,58, т. с. при уровне значимости а = 0,01 X є (-2,58; 2,58).

12.3. Статистические оценки статистических гипотез

Обычно в практических задачах не встречаются случайные величины, распределения которых точно соответствовали бы теоретическим рас­пределениям. Последние являются математическими моделями ре­альных распределений. Подбор таких моделей и анализ их адекват­ности моделируемым случайным величинам, что является одной из основных задач математической статистики, которая, в свою очередь.

сводится к проверке предположений (гипотез) о виде модели распре­деления и о его параметрах.

Определение 3. Статистической называется гипотеза о виде неиз­вестного распределения, о параметрах известных распределений, об отношениях между случайными величинами и т. д.

12.3.1. Виды статистических гипотез

Определение 4. Нулевой (основной) гипотезой называется выдвину­тая гипотеза Нй.

Определение 5. Конкурирующей (альтернативной) гипотезой назы­вается гипотеза Н,, которая противоречит нулевой гипотезе Я0. Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении о том, что математическое ожидание нормального распределения а = 5, то кон­курирующая гипотеза может состоять в предположении, что й^5. В краткой записи: На: а = 5; Я,: а * 5.

Гипотезы различают на простые (содержащие только одно предполо­жение) и сложные (состоящие из конечного или бесконечного числа простых гипотез). Наиболее распространенными являются два типа гипотез:

1, Параметрические сипотеш'- при известном виде распределения предположения о неизвестных характеристиках этого распределения.

2, Для известной случайной величины (выборки) предположения о виде ее распределения.

12.3.2. Общая схема проверки статистических гипотез

Определение 6. Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину Т, которая служит для проверки ста­тистических гипотез.

Укажем основные моменты проверки статистических гипотез.

1. Для основной гипотезы Яя формулируется альтернативная гипо­теза Я,.

2. Выбирается малое положительное число а — уровень значимости проверки. Обычно а колеблется в пределах от 0,01 до 0,05.

3. Рассматриваются теоретические выборки значений случайных ве­личин, о которых сформулирована гипотеза Н„, и выбирается (форми­руется) случайная величина Г. Значения и распределение Г полностью определяются по выборкам при предположении о верности гипотезы

Величина Г называется статистикой или тестом критерия.

! Ї '

2   Глава 12. Элементы математической статистики

4. На числовой оси залают интервал D такой, что вероятность попада­ння текста Гв этот интервал равнар- 1 -а:

P(T

Интервал D называется областью принятия гипотезы Я,„ а оставшая­ся область числовой осп - критической областью. В ряде случаев за область D принимают один из интервалов: (-се, l^]. f-/^. ttJ, [i,p, °°), где число ґм, — критическое значение теста проверки. Соответственно этим промежуткам критерий проверки называется правосторонним, двусторонним или левосторонним. Соответствующие области откло­нения гипотезы На: (fh.p, да), (-да, -^) и (гкр, да) и (-л,

5, По реализациям анализируемых теоретических выборок вычисля­ется конкретное (наблюдаемое) значение теста Г (обозначим его £() и проверяется выполнение условия (12.16): если оно выполняется, то гипотеза #о принимается в том смысле, что она не противоречит опытным данным; если же условие (12.16) не выполняется, то полага­ется, что гипотеза Нй неверна и вероятность этого события определена неверно.

Из представленной ранее схемы следует, что при проверке гипотезы Htl возможны следующие ошибки:

• ошибка первого рода — отвергнуть гипотезу И0 при ее правильности, вероятность этой ошибки равна а;

• ошибка второго рода — принятие гипотезы Я(, при правильности альтернативной гипотезы

Пусть вероятность ошибки второго рода равна ß, тогда число 1 - ß на­зывают мощностью критерия. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность ошибки второго рода. При выбранном уровне значимости критическую область следует строить так, чтобы мощ­ность критерия была максимальной.

Можно показать, что в случае ограниченного интервала области при-ігятия гипотезы Я0 (двусторонней критической области) существует связь интервала D, определяемого по (12.15), с доверительным интер­валом, определяемым по формуле (12.14).

12.3.3. Типы статистических критериев проверки гипотез

Любой критерий не доказывает справедливость проверяемой гипоте­зы Я,„ а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согла-

12.3, Статистические оценки статистических гипотез 229

сие или несогласие с данными наблюдении. Укажем здесь наиболее употребительные критерии проверки статистических гипотез:

1. Критерий \%1, или Kpumej)uu Пирсона.

2. Критерий Стьюдента.

3. Критерий Фишера.

4. Критерий Колмогорова.

Обычно один из указанных критериев и употребляют при составле­нии теста критерия проверки (см. п. 4 схемы проверки в предыдущем разделе). Основой для составления соответствующих формул крите­риев Пирсона, Стьюдента и Фишера являются соответствующие со­отношения (11.49), (11.51) и (11.53).

Рассмотрим примеры проверки статистических гипотез с использова­нием критериев X2 и Стьюдента.

Пример 8. Заданы эмпирические и теоретические частота (п( и «') при числе групп выборки s = 8:

й, 6 13 38 74 106 85 30 14 п     3  14  42 82   99   76  37 13

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу На о нормальном рас­пределении генеральной совокупности.

Решение. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле ZL=IK-«:)V», (12.17)

1-І

или, что то же самое, по упрощенной формуле

Хмй =£(«, АО"* 02-18)

где n = V й; =£я] — объем выборки. В нашем случае л = 366. Ис­пользуя данные исходной таблицы, получаем:

ХІ& щ Зб/3 + іб^'4 + І444/42 + 5476/82 +11236/99+ 7225/76 + + 900/37 * 196/13-366 = 37319-366 =7,19

Далее находим число степеней свободы £ = £-3 = 8-3 = 5 (число групп выборки минус один — это число степеней свободы распределе­ния Пирсона — и минус еще два, так как нормальное распределение

2   Глава 12. Элементы математической статистики

характеризуется двумя параметрами — математическим ожиданием и дисперсией). По таблице критических точек распределения Xі (при­ложение 3) по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы 5 находим критическое значение теста xl,, = HL 'Гак как хілл <У-1у то оснований отвергать нулевую гипотезу г/0 нет, т. е. расхождение .эмпирических и теоретических частот незначимое. Иными словами, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит данным наблюдений.

Пример 9. Для независимых наблюдений.ги.г2,хп проверим гипоте­зу Щ: математическое ожидание т = тпц при двусторонней альтерна­тивной гипотезе II,: m # m0. Уровень значимости а задан.

Решение. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

Т = (х-щ1Іф. (12.19)

где s — оценка среднего квадратического отклонения. Величина Т имеет распределение Стьюдента с п - 1 степенями свободы. По табли­це распределения Стьюдента при заданном п находим критическую точку г,_ц     = гопределяющую доверительный интервал

Р{Т<п-І<Ір) = р = -и.,

Тогда критическая область определяется неравенством ] Г(л -1)| > tp. Гипотеза Пп не отклоняется на уровне значимости а, если

(х-іщ )-Jn/s\< tr или лід є (х -1 р sj-fn,   ї + fpS/Vn). (12.20)

В противном случае, если гипотетическое значение ш0 не покрывается доверительным интервалом (12.20) с заданной надежностью р, то ги­потеза Ид отклоняется.

Упражнения

12.1, Найти групповые средние совокупности, состоящие из двух групп;

1- я   группа     .т, 0,1 0,4 0,6

п, 3 2 5

2- я   группа      X, 0,1 0,3 0,4

и, 10 4 6

Упражнений 231

12.2. По условиям предыдущей задачи найти общую среднюю.

12.3. Для распределения статистической совокупности

X, А 7 10 15 \%     10  15  20 5

найти ее дисперсию.

Для заданных среднего квадратического отклонения а, выборочного среднего х0 и объема выборки п найти доверительные интервалы не­известного математического ожидания с заданной надежностью р.

12.4. о = 2, х =5,4, л= 10, rj = 0,95.

12.5. а = 3,ї, =20.12, п = 25,р = 0,99.

12.6. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения

X,     10.6  10,8  Ш  112  11,4  1Ш lt8 tt.      5     10    17    30    20    12 6

12.7. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадрати чес ким отклонением а - 2.1 извлечена выборка объема п =49 И по ней найдено среднее хв =4,5. При уровне значимости и = 0,05 проверить нулевую гипотезу Иа: я = 3 (равенство математического ожидания гипотетическому значению) при альтернативной гипотезе И{. а * 3.

12.8. Для выборки объема гс=16, извлеченной из нормальной ге­неральной совокупности, определены выборочная средняя х = 12,4

и среднее квадратическос отклонение s= 1,2. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Яп: а = 11,8 при альтернативной ги­потезе //,: а* 11,8.

12.9. По 100 независимым испытаниям определена относительная частота т/п - 0,15. При уровне значимости а = 0,05 проверить нуле­вую гипотезу Ни: р - 0,17 при альтернативной гипотезе Ну р* 0,17.