Название: Математика для экономистов - Красе М. С.

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 1487

Ответы к упражнениям

Глава 1

1.1. (6, 3, 0, 9). 1.2. (-699, -129, -609, 495). 1.3. | П = V29, | Ь = л/34, Ф(я, Ь) = 90°. 1.4. 40. 1.5. а, = -4, а,= -12, и3= 12. а4 = 5. 8  -5    2 3^ I 14   -2    5 О -5   И  -6 1,

1.7. а) Указание: имеют смысл следующие произведения матриц AF, BA, BD, DC, СЕ, CG, GC.

1.8. Собственные векторы с и ё, соответствующие собственные значе­ния 5 и 2.

1.9. а) -8; б) -27, в) -186.

1.10. М-д = -21, МІА = -29, Мм = -10; \% = 80, Ла = -13. Ам = -21.

1.11. rH = 2, r„ = X rt.-3.

1.12. а) линейно зависимы; б) линейно независимы.

1.13. Д= 10 — определитель, составленный из координат этих векто­ров, не равен нулю.

1.14. (2, І). 1.15. (1, 2,3). 1.16. (3, 0, -2). 1.17. Система несовместна. 1.18. (1, 1, 1), 1.19. (1, -1, 2, 0). 1.20. Системанесовместна.

1.21. (14л-„, 2х, х4, х^), гдел^ - свободная переменная.

1.22. {~хъ 1 7^*<       *з   2xt +2х, х3, xt где д.п и т4 — свободные

переменные. 1.23. Система несовместна. 1.24. (-7, 15). 1.25. (-2, 1, -1). 1.26. (0, I, -2). l-27-fj. |. lj- 1.28.^, |, І, oj,       -|і 0, lj.

1.29.(2, 1,0,0), (-4,0,1,0), (1,0,0,1). 1.30. (8, -6, 1,0), (-7, 5, 0,1).

1.31. ( 0. -|,   0(0, 1,5, -7).

1.32. а, = I ' а., = u Sa =1 ^ I, ^ = -2; й*0 и о±0 - произвольные числа.

Ответы к упражнениям 2

, л.,= -3; а * О, h * О,

с Vі 0 — произвольные числа. Глава 2

2.1. 5"= 684 кг, увеличение на 20 \% Т~ 1171,2 ч, уменьшение на 4 \%; Р= 3720 леи. ед., увеличение = на 6,3 \%.

2.2. Р =(4879200, 7623000, 4085984, 3214176, 3375904); ДР=(143, 118. 117,5, [15, 117,4). 2.3.//=(135, 34,35,40).

2.4. (70, 120. 30). 2.5. Ш =(24,5, 15,7, 28,7). Глава 3

3.1. (-3, 3). 3.2. |4, 4]. 3.3. (-0О, -5) и (5, оо). 3.4. (2, 4). 3.5. [-5, 5]. 3.6. (-«, -2] и [2. *>). 3.7. (0, 1). 3.8. (-со, оо), 3.9. 0.

3.10. |-1, -8] и (2. 3). 3.11, [5, Щ 3.12. ^.3.13. со. 3.14. 0.5.

3.15, 0. 3.16. 2. 3.17.-.3.18, 0.3.19. і. 3.20. a) *23 года; б) ч 14 лет. 3.21. - 37 \%. 3.22. Аккумулирование денег И их «прокручивание». Глава 4

4.1.       со) 4.2. (со,со). 4.3^-«, «*)- 4'4- ЬЗ 3J- 4.5. [3. *>).

4.6. (3.6) и (6, го). 4.7. (-оо, 1] w[3. оо). 4.8. [1,2)^(2.3]. 4.9. (-<*,<»). 4.10. (>•», сс). 4.11. (-со, 0)и(0, во). 4.12. (-оо, 0)и(1, 2)vj(2, оо).

4.13. (3, »). 4.14. (О, 3). 4.15. [0.1, 10]; it; к/2; 0. 4.16. - + 2тш, п є Z.

2

4.17. 6. 4.18. 0. 4.19. 1.4.20. со. 4.21. 0.4.22. 2. 4.23. -.4.24. І. 4.25. 3.

4

4.26.- 4.27. 1. 4.28. - .4.29.- 4.30. е1-' 4.31. є2''3.4.32. .r= -2, второго 5 3 2

рода. 4.33. т= 0, второго рода. 4.34. х ~ ^ + лд п є 2, все разрывы вто­рого рода. 4.35. .т = ~ + кг> п є Z, все разрывы второго рода,

is'

4.36. X = - + ля, n є Z. все разрывы второго рода. 4.37. лг= 1, х= 2; оба

разрыва второго рода. 4.38. л.= 2, устранимый разрыв. 4.39. а) 4. нет; б) 2, да.

Глава 5

5.І. Зх2 + 6л- - 2. 5.2. ЗзУ + 1&г' - 4. 5.3.

j_ _j_ Xі 2jx'

5.4.^--L + 4 + ^.5.5.^-4 + A

4tf?   Xі X

31s

5.6. 15.T1 +2cosT + ^^.5.7. -я"1"5 -24c5 + - + —L

COS X

X    sin' jt

I

5.8. -(log, e-3iog3 0-5.9. Ы + —

X COS   jf Xі

5.10. ln5 5J + Ln66I-]n5 51.5.11. 2xtgir +

COS X

2   -   9 -­5.13. —.V 3 —X 3 +arccos.v

1

v'l-x'

5.14. 2л logj д- -і- X log^ e - e1

I

1 +

X

5.15 5.17.

5.12. -ln.r + l Lv 7.

4v

(T2 l)1 1

й .„   COSA + T In.TsinT 5.16. -;- + tg Д +

JfCOS   X COS ДГ

5.18. tg X   '~*2 , +     ,  X-—. 5.19.

(1 + Д-3)2    созглг(1 + т2)

5.20.--2 + smr    5 21 33 g ^    g {) ^ 4 cos4j_

(1 + 25тл-)г 4

2^(1 + ^)= + g"J + 2 (i   < ' ! '

5.24. 2(1 -x)sin (x2-2x+ 1). 5.25. sin Ix. 5.26.

■ COS X

2л/2х

-sin.v

Ответы к увражнвниям 2

5.35. X' (In -V+ 1). 5?36. л-™'^^^ -sin* In* 5.37. у = 2х~ 1.

5.40. 135°. 5.41. 0,04- 5.42. а) 10,05; б) 1,02; в) «6,93; г) =2,08; д) =2,013, 5.43. --2$"^ . 5.44. 2 cos 2*. 5.45, (4х3 -2КЛ'3.

cos X

5.46. 2 cos X - X sin .т. 5.47. --—— .5.48. е*г(3-.т). 5.49. 2** («и* -sin*). 5.50. -х~ 5.51. НУ

5.52. 2" sin* (2х + ^ j 5.53. In« 3 - 3 5.54. ("1Г

5.55. .г cos .vi X + ff- + mini x + n-

5.56. e1 [д-:і + 3ftx' + Зп(л-1)д- f w(ff-l)(n-2)]. Глава 6

6.1. 1. 6.2. 2. 6.3. 0. 6.4. 3/5. 6.5. 0. 6.6. 0. 6.7. 0. 6.8. 1/3. 6.9. і/73.

6.10. 1. 6.11. L 6.12. x+— + o(x3). 6.13. 1-X + —       + ОҐЯ-3).

3 2 6

6.14. 2. 6.15. 1/2. 6.16. 1. 6.17. 1/3. 6.18. Выпуклость вверх на интер­вале ( to, 2); выпуклость вниз на интервале (1, ос);х- 2 — точка пере­гиба. 6.19. Выпуклость вверх на интервалах (-ос, -l/V3) н (f-J3, оо); выпукл ост* вниз на интервале (-1/V3,1/л/3);д- = ± 3 — точки перегиба.

6.20. Выпуклость вниз на интервалах f • «>, ~^н^' 00 j* ВЬ1Пуклость вниз на интервале^—і, ^J; A" = ±7j точки перегиба.

6.21. л- ~ 1 — вертикальная асимптота, у = 3 — горизонтальная асим­птота. 6.22. у = 0 — горизонтальная асимптота. 6.23. у=х-— на­клонная асимптота, х 1 — вертикальная асимптота.

6.33. ^■^■'■^6.34, oj

6.35. а) С =28, С = 24; б) С =22, С = 6.

6.36. а) В точке равновесной цены (при Р0 = 20/3 | ED (Р0) = 0,25; б) равновесная цена повысится на 50 \%, эластичность спроса по абсо­

2   Ответы к упражнениям

лютнон величине увеличится примерно на 73 9оГб,37. |£j = Es = 0,8; доход уменьшится на 2,5\%,

Глава 7

Л. — + — + — = д: + С. 7.2. — + —X    + —X    ~- „ + С. 3     2     2 5    3        4 .г3

г У

7.3. 3 arctg д* + 2 arcsin л + С, 7.4. — + — + 4ел +С. ■ 1п2 1пЗ

2

7.5. -х5* +Х- -х + С.7.6. -cos* + 3sin.t+C 5

7.7. +3 ,7/. _2^ + Зї2/,,+с 7 7 2

7.8. —+.г + 1пд--2х_л --д--1'2 + С.7.9. -ctßx- .т+С.

3 2

7.10. 2 tga+sin X + С. 7.11. -- + 2 arctgx + С. 7.12. tg дг - д- + С

X

.4.2 ч

7.13. .г3 + arctgx + С. 7.14. — - — + arctg х + С. 7.15. - cos 5х + С.

4     2 5

7.16. —sin (Зг + 5) + С. 7.17. -cos VÄ7 + С. 7.18. <2r + 1>' —L1 + С. 7.19. 1 In (Зх + 2) + С.

2      U1   120; 3

7.20. ~-• -—!—- + С. 7.21. - (2х + С.

3 (2 + х)э 3

7.22. x-2-jx +1п(л/х + I)5 + С. 7.23. -In (cos.г) + С.

7.24. --)п(1 + 2 cos X) + С.7.25. - tg 2* + С. 7.26. -sin3 .г + С. 2 2 3

7.27. Ар?" +2^+.r + f;-r +С.7.28. -є"*1 +С.7.29.2еЛ ч- С. 2

7.30. -jL ІпЛ/Іт + ^2дгг + Л * С. 7.31. - arctg5*+- С.

7.32. — (2 4-COS5.VV1''3 + С.

15

7.33. In ix1 -2х + 5) + - arctg ^—^ + С. 7.34. arctg jr-- + С.

2 2 2 2

1 1

7.35. — In*- — + С.

2 А

7.36. (-.Vй +-i-2V-r-2-^" + С.1ЛП.г4хпх-*4х+С. 3       2    J       9 2

7.38. -e' (.t + 1) 4 С. 7.39. — (5x - 1) + С.

25

7.40. Xarctg-J5x - 1 --V5x-1 + С. 7.4І. x tg* + In (cos*) + С. 5

7.42. 2Уж" arctg -Jx~ - In (1 + x) + C. 7.43. * [1 + (In.v - if ] + C.

7.44. X ІпСт2 + I)-2.* + 2 arctg r+C. 7.45. 2(Vx -1)вл + C. 7.46. 6. 7.47. л/4. 7.48. 91/3. 7.49. 17/6. 7.50. 64/21. 7.51. 5#. 7.52. е"г.

7.53.        ln.2. 7.54. 2 In 2 - 1. 7.55. 1/3. 7.56. 1/2. 7.57. 1 - 2/e.

Уз

7.58. 32/3. 7.59. 4/3. 7.60. 1. 7.61. 1/6. 7.62. 7/8. 7.63. In 2. 7.64. 4. 7.65. 2 + тг'Уб. 7.66. Aß. 7.67. тс (es - 1)/2. 7.68. 21,6. 7.69. я/6.

7.70. 0,8л. 7.7І. 2л/35. 7.72. Интеграл расходится, 7.73. 1.7.74. Инте­грал расходится. 7.75. 1. 7.76. 1. 7.77. 1. 7,78. л/2. 7.79. Mt (у - aI/2). 7.80. 797 500 кВт-ч.

Глава 8

8.1. Из плоскости Олту исключена точка 0 (0, 0).

8.2. х> 0, у > 0; х< 0, у < 0 - соответственно, первый и второй квад­ранты плоскости Одт/.

8.3. Замкнутый круг радиуса а: х2 + у'*<а*. 8.4. Правая полуплоскость X > 0. 8,5. Вся плоскость Оху. 8.6. Внешность открытого круга радиуса а: Xі + у2 > а'. 8.7. у > -х — полуплоскость над биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

8.8. у < X — полуплоскость под биссектрисой первого и третьего коор-

с

дннатных углов. 8.9. Семейство гипербол у = —.

8.10. Параллельные прямые у = -х+ С.

8.11. Семейство парабол у-С^ + х2. 8.12. Пучок прямых у = —.

С

8.13. Семейство парабол у = (I + С) дг3.

8.14. z

8.15. z

8.16. z

8.17. z

8.18.2

8.19. z

8.20. z

8.21. z

8.22. z

8.23. 2

Зх1 + Sxy,z' = 3х'г -Зу'1.

z„ -

(х-уУ        {х-у? ■■ г = cos(x + у).

-гху>-Ъхгу-г'^гхгуг-2х>у У г .V

х' +у

2 „ =ХЄ

1

X + /У

х+,yJ

г' =

і

2(x + Jxy) * 2(у + yjxy) уе"» (і + ху), г =хе'у( + ху) X , у

У

8.24. в*

^х2 +у

* +Z1

ijx7 +уг +г2

, и, =

т/х

2        2 2

+ у  + г

8.25. (-2, -4). 8.26. (-6, 6).

8.27. (2, -2, -4). 8.28. (-2. 6. -3).

8.29. z" =

1 + 2у

-, 2,

4х

(1 + 2у)

2 ' ZW

С1+2у)3

8.30.2: =0.г; =е*,г; = .^.8.31.2';

yeJV(AT/-2)-1

(х + е* г (х +е у)

г'„=4х» ln2x,2; =2г^-\ + 2у lux). 8.33. г?, = - ,

(1 + xV )

-.2

2х3у

8.34. г'^ = ё" (siny +2 COS у + X cos у), z"^ = eJ (cos

8.35. z„m = -7 n точке Л/ (1, 2).

Ответы к упражнениям 2

8.36. z„lir, = 1/27 в точке М(-1/3, 1/3).

8.37. ^1IU1I=1 в точке М{■ 1, 1). S.38. Экстремума нет. 8.39. zmjn = 0 в точке 0(0, 0), 8.40. Экстремума нет.

8.41. гтіІІ = -2/е а точке М (■ 2, 0). 8.42, ед. прн х=8,у = Л.

8.43. и = 0,425* + 1,175.

Глава 9

9Л.у = Сх. 9.2. .г1 +t/2 = С3. 9.3. y=Cev*. 9.4. у = Сйг. 9.5. у = .

1 - Сх

9.6. лг!+уі = 1п(Сї3). 9.7. 1 +у" = С(1 + **). 9.8. і/+ г* - 2х = С. 9.9. ,у = С (* + l)e 9.10. у =^-2.9.1i.y

9.12. у2 =2In

9.15. 2| — -1

Je

Зт-4

9.13. у = In .т. 9.14. 2у2=х2- 2.

In^^.9.16. <у = (*+С)е'. 9.17. ^Cp' -t- 1.

9.18. у = 3 + —. 9.19. у =(x! + С)Є'Х .9.20. «y-C.v+д-. *

9.21. і/ = 0~' +^ (спят + sin.r). 9.22. y~( + Ce'' )"

m-»■=jüW9-24- * ■ [cs"* *+ї F-9-25- * ~{Ф *Г

9^6.y =.f;,e?' + С,*3т.9.27. £ =С,рл +CjCu.9.28.у = ф*Щх + Сг). 9.29. $r = eu (C, cos Зі + C2 sin 3x). 9.30. у = e* (C, cos * + C3 sin*). 9.31. у = С, + Сг

9.35. у = Ct cos* + C3 sin*. 9.36. у = e~T(C<* + C2)+ -| e'.

9.37. у =C,ev + C^"2'1 +2 9.38. у = С, cos Vär + C2 smV3x + 3*.

9.39. y=C,eu + C,e** +Х-5.9.40. у =С,ел + C.^2* + ^e2'.

9.41. у =С>2л +C,,e3' -xe2'. 9.42. у =

■ 122S

442  Ответы к упражнениям

9.46. у =etx -ел + 2,ЪА1.у =2ег* ~«ь + е'.

9.48. у =-ем(х-[) + х + -.ЪЛ9. у =2е'г + Ае'2г + ег. 3 3

Глава 10

10.1. 36. 10.2. 588. 10.3. а) 1/45; 6) 0,01. 10.4. 0,5. 10.5. 24/91. 10.6. 0,47. 10.7. 0,025. 10.8. 0,2. 10.9. 0,28. 10.10. 0,4. 10.11. 0.896. 10.12. 0,47. 10.13. 0,69. 10.14. 0,078. 10.15. а) 0,4239; б) 0.5; в) 0,5. 10.16. 95. 10.17. а) 44,5 млн дев. ед.; б) 40,5 млн ден. ед.

Глава 11

11.2. 0,0375. 11.3. 5010. 11.4. 3,9. 11.5. 0,9.11.6, 0,25. 11.7. а) 0; б) 0,5; в) 0,5; г) 0.11.10. 1/я. 11.11.25/18.11.12. 0, 4.11.13. 3^/2; 3r3;x0 V3.

11.14. 28; A-Jl. 11.15. 12,6\%. 11.16. fix) = ~-Lte'<**3it/n. 11.17. 0,2.

4л/2їг

Глава 12

12.1. 0,41; 0,23. 12.2. 0,29. 12.3. 9,84. 12.4. (4,16; 6,64). 12.5. (18,57; 21,67). 12.6. -0,006; 0,00004.12.7. &^ = 5; нкр = 1,96. Нулевая гипотеза отвергается.

12.8. Г„.,6.1 = 2, с5Л5. 1;j = 2,13. Основании отвергнуть нулевую гипотезу нет.

12.9. [/„^, = 0,53; ti„ = 1,96. Основании отвергнуть нулевую гипотезу пет.

Глава 14

14.1. типт= (1,75; 0), L (т)^ = 5,25; |„= (1,75; 1,75), L (х)„,і:] = -5,25,

14.2. Неограниченное решение; л: ,,,,,= (0; 2,5), L (х)т1г = 7,5.

14.3. Неограниченное решение: x

14.4. хП1ГТ = (1,38; 2,77), I (т),„а>= 11.08; множество решений, одно из них.г=(3; 0),1(*)пш, = 0.

14.5. \%жп = (0; 5), L (x)M, = 15; ^ = (0; 5), І (x)mm = 15.

14.6. *и„, = (0; 0), L {x,m = 0; xm = (0; 0), L (x),llin = 0.

14.7. Нсофаннченное решение; хм, = (4,67; fi.67), L (ї)га,п = 11.33. 14.11..viinT=(0;3;4;0),i(.f),1K1 = 7.

14.12. F„^(0; 1:2; 0; 1). I <*)», =

Ответы к упражнениям 2

14.13. iiim = (6.4; 2,4; 0,4; 0, 0), L Щт = 8,2.

14.14. Ли„ = (1;3; 2; 0; 0), L (х)„,„, - 1.

14.15. Нет решения.

14.16. ІЕИ1Г=(4;0; 0), L (х)....., = 4.

14.17. *im=<0; 3; 0; 0), L (х),„к = 3.

14.18. т„,п = (1;0; 0; 0,67), I (х)„х = 0.33.

14.19. \%,- (2,5; 0.25; 0; 0), L (х)гЛ, = 2,75.

14.20. ^(О; 0; 4.5), !<*)„,„ =18.

14.26. = (0; 1; 3). ^ = (1; 0), L (х)тп = S        = 4.

14.27. їш= (2; t; 0; 0), уЯ1Г = (1:1), Ш-* = ^Ш™- - 5.

14.28. І„= (0,8; 1,4; 0; 0), fua = (1,2; 0,2),   (iL = 5(j7)min = 3,8.

14.29. x„„T=(0; 10,5; 0; 6,5), ym={\; 0,5), L (x),ma = 5(y)nm = 13.

14.30. irunT= (1,5; 0,25; 0).        (0,25; 0,75), L (x)^ = S(y),Wm = 1.25.

14.31. 2; 0; 0), y^ (-1; 4), I (r)mas = J(y)eln = 6.

14.32. xBm= (0; 2; 0: 4),        (-1; 0), I (x)„m = Stf)m = -2.

14.33. A , = (6; 0; 14; 0), y^ = (0,25; 0,75), L (x)m^S$)mm = 14.

14.34. xm = (0; 4; 5; 0; 0; 11).ym= (-0,2; -0,8; 0),І(*)ШП =S(у)ПШ = -11.

14.35. Нет решения.

14.40.

.г ..„ -

0 90 40

О 40 О

о

90 s! О 0

20;

Глава 15

15.22. а) 25194, 24 ден. ел.; 6) 23056,3 ден. ед.; в) 0,1124; г) 27530,43 ден. ед.

15.23. 812 266 ден. ед.

15.24. 5236,1 ден. ед.

15.25. 37 907,87 ден. ед. (5.26. 3680 ден. ед.

15.27. 170 456,48 ден. ед.

15.28. 7,650 млн ден. ед.; 2,650 млн дек. ед,

15.29. 101,808 млн ден. ед.; 101,833 млн ден. ед.; 101,875 млн ден. ед. ЛО выгоднее 1 вариант, банку 3 вариант.

15.30. 103,358 тыс. ден. ед.

15.31. 323,011 тыс. ден. ед.; 284,091 тыс. ден. ед.

15.32. 698,8 тыс. ден. ед.; 680,19 тыс. ден. ед.

15.33. 32 \%; 22\%.

15.34. 811,52 тыс. ден. ед.

15.35. Вклад выгоднее разместить через конверсию в валюту.