Название: Математика для экономистов - Красе М. С.

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 1488

Глава 1

Элементы линейной алгебры

1.1. Векторное пространство 1.1.1. Векторы и их свойства

Приведем обобщение понятия вектора на л-мернып случаи.

Определение І. Любой упорядоченный набор на п действительных чисел ах, аг, а„ называется ti-мєриьш вектором а; числа, составляю­щие упомянутый набор, называются координатами (компонентами) вектора и.

Определение 2. Совокупность всех «-мерных векторов называется n-мерным векторным пространством К".

Координаты п-мерного вектора а можно расположить либо в строку (вектор-строка)

а = {дг. а,.....        а„). (1.1)

либо в столбец (вектор-столбец)

а =

(І-2)

Определение 3. Два вектора с одним и тем же числом координат

аг>      О,     Ь =      h,.....6J (1.3)

называются равными, если их соответопп ющне координаты равны, г. е.

1.1. Векторное пространство   2

Определение 4. Вектор, псе координаты которого раплы нулю, назы­вается нулевым вектором:

Ö -(О, Ü, 0).

1.1.2. Операции над векторами

Пусть векторы д и b (1 3) принадлежат и-мерному векторному про­странству Л1". Булем пазынать суммой'векторова и Л векторе, коорди­наты которого равны суммам соответствующих координат этих век­торов:

с = д + 5 = («, + Л,, а, + Л,.....       о,+ /)„). (1.4)

Пусть /. — любое действительное число. Произведением вектора д ;/д число а. будем называть вектор, координаты которого получаются ум­ножением соответствующих координат вектора я па это число:

с=?.і7=(Хд1. Я.д,..... (1.5)

Из введенных таким образом операЦИГі над_ векторами вытекают сле-дующис свойства этих операций. Пусть a,fine - произвольные век­торы л-мерпого векторного пространства. Тогда;

1) Ті + h =b + д - перемегтительпос свойство;

2) (5 + £ ) + с - « + (Ь + 2) - сочетательное свойство: .4) А.(д + ft) = ЇШ + JJ>.где А. — действительное число,

4) (>. + р)д = ?<а + рд, где Лир   действительные числа;

5) А. (ця) = (А.ц) д, где лиц- действительные числа:

6) а + (5 * д;

7) ДЛЯ любого вектора д существует такой вектор - а, что

-д=(-1)й.   д+(-я) = 0; 8. 0 а = 0 для любого вектора д.

1.1.3. Скалярное произведение векторов

Определение 5. Скалярным произведением векторов я и о (1.3) назы­вается число, состоящее ИЗ суммы произведений соответствующих координат этих векторов:

ab =я,/>, + а,Ь; > ... + аПЬг]. (16)

2   Глзва 1. Элементы линейной алгебры

Из данного определения следуют основные Свойства скалярного про­изведения векторов:

1) ШМ'—MS (соблюдается правило коммутативности);

2) ().д) I) = д O-.h) = }. (Л /)), где X — действительное число:

Ü) й й> + Щ = (І Ъ + Ш с;

■і) д а > 0, если д * ()  и д д = О, если д = Ö.

Введем понятия модуля вектора (его длины) 11 угла между векторами и виде обобщения на случай при // > 3.

Определение 6. Для векторов їй н-мерпого векторного пространства модуль вектора3 и угол ф между двумя ненулевыми векторами п и /? определяются по формулам

\

сояф =...... (1.8)

Укажем одно важное свойство векторов. Векторы дні будем назы­вать ортогоиоятьми, если их скалярное нронзнедение равно нулю:

ПЬ =0. (1.9)

Раиенстио (1.9) является аналогом условия перпендикулярности век­торов в двух- и трехмерном случаях, когда в равенстве (1.8) cos <р = 0.

1.1.4. Линейная зависимость векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не г одним вектором, л с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такую совокупность называют системой векторов и обозначаюI ОДНОЙ буквой и С разными порядковыми номерами:

дг Щ,      ü>. (1.10)

Определение 7. Линейной комбинацией векторов (1.10) называется вектор вида

b =   л, + К, лі + ... + Ä.t ö, (1-11)

где ?.|. Х-.- —і ^» — любые действителыше числа В атом случае говорят также, что вектор Л линейич ны/шжагтел через векторы (1.10) пли иааяшттсн по .этим векторам.

1.1. Векторное пространство 2

Пример і. Даны три цектора

Г/, (1 2, 0), д, =(2, I. 1) и Ті., =(-1, 1, - 2)

Их линейной комбинацией с коэффициентами, соответственно, 2, 3 и 4 является вектор Ь = (4, 11, -5).

Определение 8. Система ненулевых векгороя (1.10) называется ли­нейно зависимой, если существуют такие числа Я,,, А.,,.... Xk, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с ука­занными числами равна нулевому вектору:

,а + 'К;й7 f ... ♦ л,^    = Ö. (1.12)

Если же равенство (1.12) лля данной системы векторов (1.10) возмож­но лишь при А., = Х-2 = ... = Хк = 0, то такая система векторов называется линейно независимой.

Например, система двух векторов 2 = (1, 0) и а~2 = (0, 2) является ли­нейно независимой; система двух векторов bt =(1,2, 1) и b.d = (2, 4, 2) является линейно зависимой, так как Щ -2^ =0. Если система векторов (1.10) является линейно зависимой, то в сумме (1.12) можно выбрать слагаемое, в котором коэффициент = 0, и вы­разить его через остальные слагаемые.

Укажем свойства системы векторов (1.10):

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно неза­висима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима то­гда и только тогда, когда среди се векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через остальные.

Для векторного пространства R" справедлива следующая георема.

Теорема 1.1. В пространстве R" любая система, содержащая т векто­ров, линейно зависима при т > п.

1.1.5. Базис и ранг системы векторов

Рассмотрим систему векторов (1.10), Максимально независимой под­системой системы векторов (1.10) называется частичный набор векто­ров этой системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы; б) любой вектор системы (1.10) линейно выражается через векторы этого набора.

16   Глава 1. Элементы линейной алгебры

Определение Э. Максимально независимая подсистема системы век­торов (1.10) называется ее базисам; векторы, входящие в базис, назы­ваются базисными векторами. Будем называть рангом системы век­торов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа к се векторов, то она может иметь несколько базисов.

Определение tü. Система п векторов называется базисом пространст­ва R", если:

1) векторы этой системы линейно независимы;

2) всякий вектор на R" линейно выражается через векторы данной системы.

1.1.6. Разложение вектора по базису

Пусть система векторов (1.10) является базисом, а вектор Ь — их ли­нейная комбинация. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.2. Разложение любого вектора в базисе, если оно сущест­вует, является единственным.

В произвольном базисе пространства R"

я,, Щ,      д„ (1.1.4)

любой вектор этого пространства обязательно представим в виде раз­ложения по базисным векторам

b = u, (J, + at її, + ... + a, «„. (IT і)

В наборе коэффициентов разложения (&,, tu.....aj числа «, называет­ся координатами вектора b в базисе (1.13). и, как следует из сказанно­го, этот набор единст венный Д'іи любого вектора в данном базисе.

1.1.7. Разложение вектора в ортогональном базисе

Рассмотрим базис пространства R", в котором каждый вектор ортого­нален остальным векторам базиса:

Щ, ё, .... е„:   ё,?, =0,   і *;';       =    2       п (1.15)

Ортогональные базисы известны и хорошо прелставимы на пло­скости и в пространстве. Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектпра определя­ются по весьма простои процедуре, без применения трудоемких вы­числений.

1.2. Матрицы 2

Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора h в ортогональном базисе (1.15). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения а данном ба­зисе:

Ъ - я,?, + гг.е., + ... + н„ рг. (1-16)

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор ёг. В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем

Ьё: = а,(

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (1.15) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением г-го, равны нулю, т. е. коэффициенты о, определяется по формуле

Ьё, be.

о. =

ее.

i = 1 'I

(1.17)

Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все век­торы в (1.15) имеют единичную /мину ([с-, = 1) или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортопормированпым и координаты разложения (1.17) имеют наиболее простой вид:

о, = Щи    Ы\% 2.....       Л (1.18)

1.2. Матрицы

1.2.1. Понятие матрицы

Определение И. Прямоугольная таблица чисел ішла

а.„

а,.

(1.19)

называется матрицей. Здесь щ — действительные числа 0' = і, 2,.... щ

j = 1, 2.....fi), называемые заемеигламц матрицы, І иj - соответственно,

индексы строки п столбца. При этом произведение тп числа строк на число столбцов называют размером матрицы Л. Матрицу (1.19) запи­сывают также в сокращенном виде:

2   Глава 1. Элементы линейной алгебры

А = ІЩІ    і = I. 2.....       т.   j Ч I. 2.....       п. (1.20)

Матрица, нее элементы которой равны нулю, называется нулевой мат­рицей.

IJ том случае, когда т = п (число строк равно числу столбцов), матри­ца А называется квадратной. Тогда число п называется порядком мат­рицы.

Упорядоченная совокупность элементов

гяитрй диагональю квадратной матрицы. Квадратная матрица назы­вается диагональной, если ненулевыми являются только элементы главной лиагояали.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а все другие элемен­ты — пулю:

I I о

{() о

Определение 12. Дне матрицы А и В называются равными (А = Я), если они имеют одинаковые размеры и нх соответствующие элементы равны: а.і = b:i; г = 1.2.....m:j = 1, 2.....п.

1.2.2. Линейные операции над матрицами

1. Сумма матриц. Суммой матриц .'1 и 3 одинакового размера называ­ется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц,! и В. Нсли

Л = К,||.    В = :|/>,||;     / = 1. 2.....       т.     j = 1. 2..... п.

то сумма этих матриц С = Л + В имеет вид

С = М Чіі * ;Щ *  Ы     » = I. 2.....       т.   j -- 1. 2..... п.

Пример 2. Пусть ДанЫ матрицы А и В:

СП

(I

I

(L21)

1 2. Матрицы 2

Их суммой, согласно определению, является матрица

'О .1 -2 R4 с - 3 1   ß О

5   I    2 І-

2. Умножение матрицы на действительное число. Произведением матрицы Л па действительное число et называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А па числи а.

Пример 3. Пусть даны матрица А и число и:

3. Свойства операций суммирования матриц и произведения матри­цы на число, непосредственно иытткаюшис из определения этих операций. Пусть Л, В и С - матрицы, кмеюшне одинаковый размер, а о її Р - некоторые действительные числа. Тогда:

!) А * В-В + А;

2) (Л + В) + С-Л + (В + С).

3) а (Л + В)~аА + чВ, А) (а + ЩА=аА - рА; 5) (,ар)А = (аЛ)Р;

(5) Л + О = А где О  ■ пулевая матрица; 7) й-Л = 0.

1.2.3. Транспонирование матриц

Траііспонироаинием матрицы называется замена строк матрицы па ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А (1.19). Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' (часто используется также обозначение Л1) имеет вид

Произведением матрицы А на число а является матрица

2   Глава 1. Элементы линейной алгебры

А' =

ml

Сохранил тая форма записи операции транспонирования матрицы:

Л = (ИЛ,    Л'»|ЦД    1 = 1, 2, .... щ    ./=1, 2..... »,

Пример 4. Пусть даны матрицы А и /І.

3 П

1

2 4 -2 [5  7 О

2   10 3

5  2  4 7

2 5) З   А 1

О  -2 Ь,

ß' =

Соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

1 2

0 I

Свойства операции транспонирования матриц:

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

А"-А. (1.22)

2. Главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспо­нировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы квадратные матрицы, у Которых элементы, симметрич­ные относительно главной диагонали, равны, т. с. йц - аг Транспо­нирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство

А - .4' (1.23) также можно полагать определением симметрической матрицы.

1.2.4. Произведение матриц

I. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматри-вагь как векторы-строки и векторы-столбцы соответствующих рал­

1.2. Матрицы 2

мерностей; иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбдов.

Пусті, даны дне мат рицы: А — размера т л п и В — размера;/ х к. Будем рассмат рішать матрицу Л как совокупность т векторов строк ät раз­мерности н каждый, а матрицу В — как совокупность к векторов-столбцов Ь , содержащих по п координат каждый;

Длина строки матрицы /I равна высоте столбца матрицы В. и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Определение 13, Произведением матриц An В называется матрица С, элементы которой с, равны скалярным произведениям векторов* строк й, матрицы .-1 на векторы-столоны bt матрицы 8:

С=АВ=\ф е,=щЦ~\%*и. »=1.2.....т.   ;=1,2.....к. (125)

Такігм образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скалярные произведения пер­вой строки матрицы А на все столбцы мат рицы В вторая строка мат­рицы С получается как скалярные произведения второй вектор-стро­ки матрицы Л на все векторы-столбцы матрицы В и т. д. Для удобства определения размера произведения матриц нужно поделить друг на

■   тп т

друга произведения размеров матриц-сомножителей: —=— ; тогда

и k k

размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чи­сел: ткк.

Заметим, что если А и В - - прямоуголен ые матрицы, то произведение BA уже может не иметь смысла (т. е. правило коммутативности не со­блюдается).

Если матрицы Л и В квадратные порядка п. имеет смысл как произ­ведение матриц AB. так п произведение матриц BA, причем размер эт их матриц такой же. как и у ИСХОДНЫХ сомножи телей. При этом в об­щем случае перемножения матриц правило перестановочности пе со­блюдается, т. с. AB* BA.

2   Глава 1. Элементы линейной алгебры

Пример 5.

Решение. Поскольку число столбцов матрицы /1 равно числу строк матрицы Л, то произволение матриц ЛВ имеет смысл. По формуле (1.23) получаем в произведении матрицу размера 3x2:

Произведение BA не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает' с числом строк матрицы А.

Пример 6.

(2 Зт 4 -I

В =

-2

Решение. Лдесь мы найдем произведения данных матриц А В и BA.

AB і

I О

S -2 '2 + 15 0 - GW17 ч4 - 5    0 + 2)'{ 1

2 4 0   3 f 0 10-8  15 + 2

-fi 2

т

17;

Как видно из результата, матрица произведения зависит от порядка расположения матриц в произведении. В обоих случаях произведе­ния матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2-2.

Пример 7. Дана матрица

А =

1

2

I

0 2^

1 1

3 2J

Наіі ги матрицу А

1.2. Матрицы 2

Решение. Путем последовательного умножения матриц находим:

П+0+2 0+0+6 2+0+4^ 2 + 2+1   0 + 1+3   4+1 + 2 1-і 6 + 2 0 4 3 + 6

Л3 = А1 А - (АА)А =

0 2)

1 1

3 2;

ҐЗ 6  6Vl  0 2^

5 4 7 9  9 9

1 1

3 2

2 t

24 25 36 36

Ґ24 20

3+4

24^ 2fi І5

2. Свойства произведения матриц. Пусть Л, В и С — матрицы соответ­ствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а а — действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1) (АВ)С = А(ВС);

2) (Л + В) С = АС + ВС;

3) А{В+ С) = АВ + АС;

А) о. (AB) = (оА) В = А (аВ).

В первом пункте этого раздела введено понятие единичной матри­цы Е. Нетрудно убедит ься, что в алгебре матриц она играет роль еди­ницы, т. е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножени­ем на эту матрицу слева и справа:

5) АЕ = А

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матри­цу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

1.2.5. Собственные значения и собственные векторы матрицы

В этом разделе мы будем рассматривать квадратные матрицы размера nxti, или, что то же самое, матрицы порядка п.

При умножении матрицы порядка п на гт-мерный фактор в произведе­нии получается л-мерный вектор:

Лх = Ь.

Однако для любой матрицы существует набор основных векторов, та­ких, что произведение матрицы на вектор из такого набора равносиль­но умножению этого вектора на определенное число.

2   Глава 1, Элементы линейной алгебры

Определение 14. Число X, называется собственным значением матри­цы А порядка п, если существует такой ненулевой вектор х є R", что выполняется равенство

Ах=Хх. (1.26)

При этом вектор х называется собственным вектором матрицы А, а X — собственным значением матрицы А, соответствующим вектору х.

Уравнение (1.26) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, его можно переписать в бо­лее удобном виде:

(А-ХВ)х = Ъ. (1.27)

Проблема отыскания собственных значений п собственных векторов матриц составляет основу специального раздела алгебры — далее мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный ре­зультат алгебры матриц: для симметрических матриц (1.23) все п соб­ственных значении являются действительными числами.

1.2.6. Ранг матрицы

Ранее уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматри­вать как системы, состоящие из т w-мерных векторов (или из п «-мер­ных векторов). Поскольку любая система векторов характеризуется рангом (см, 1.1.5), то естественно встает вопрос о такой же характери­стике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности пек-торов — векторы-строки и векторы-столбцы, — то у матрицы, вообще говоря, имеется два ранга: строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их равноправии дает следующая теорема.

Теорема 1.3. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны.

Стало быть, ранг любой матрицы размера т * п можно искать, как ранг одной из двух систем векторов: либо т векторов-строк, либо л векторов-столбцов. Для прямоугольной матрицы максимальный ранг г- min (m, л). Максимальный ранг квадратной матрицы размера л X л не может превышать п г<п.

2.7. Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы.

Определение 15. Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг г< л.

1.3. Определители 2

Определение 16. Матрица /I ' называется обратной ни отношению к матрице Л, если их произведение равно единичной матрице:

ЛЛ '=Л-!Л = £. (1.28)

Несколько забегая вперед, отмстим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некотором матрицы порядка п ее ранг г< п, то для нее не существует обратной матрицы.

1.3. Определители

1.3,1. Операции над определителями

Любой квадратной матрице Л порядка п ставится в соответствие неко­торое число, называемое определителем и-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

Л =

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

Д., =

(1.29)

Формула (1.29) представляет собой алгебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А из разных строк и столбцов.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисля­ется определитель, так как в записи определителя содержатся все эле­менты соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

(1.30)

Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов. Схема вычисления опре­делителя 3-го порядка показана на рис. 1.1.

2   Глава 1. Элементы линейной алгебры

азг ам "зі ^32 йзз

Рис. 1.1. Схема вычиогенич определителя 3-ru порядка

Рассмотрим определитель и го порядка

А. =

Г/..

(1.31)

Теперь, с учетом подмеченных ранее закономерностей, перейдем к Оп­ределению для общего случая.

Определение 17. Определителем матрицы Л п-го порядка называется алгебраическая сумма п! произведений їтто порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.

1.3.2. Основные свойства определителей

Из данного ранее общего определения следуют основные свойства оп­ределителей.

1. Нсли некоторая строка или столбец определителя состоит из ну­лей, то определитель равен нулю,

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинако­вых столбца), равен нулю.

Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Дп=-Д„, откуда н следует, что Д„ - 0.

1.3. Определители 2

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Д, представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей. Поясним это свойство на приме­ре определителя 3-го порядка:

А, =

о,

я,

U "T2 "13

а'г + п"г   а'п + а'п   «я + °й а

"І!

ї"

д'3 + д;

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.

Это свойство является следствием свойств 3—5.

7. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Из перечисленьгх свойств следует, что определитель равен нулю, если по крайней мере одна из его строк (столбцов) является линейной ком­бинацией каких-либо других его строк (столбцов). Отсюда вытекает необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Определитель равен пулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

1.3,3. Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель л-го порядка (1.31). Выделим в нем какой-ли­бо элемент a,j и вычеркнем 7-ю строку и j-ii столбец, на пересечении ко­торых расположен этот элемент. Полученный определитель (п - 1)-го порядка называется минором Мц элемента щ определителя Д,.

Пример 8. Найти минор      определителя четвертого порядка

0-124 12 15 "   2    3 7 1 3   0   9 3

2   Глава 1. Элементы линейной алгебры

Решение. Минор М:ш элемента а-ЛЇ получается вычеркиванием из дан­ного определителя 3-й строки и 2-го столбца. Полученный определи­тель 3-го порядка равен

2

= 36+ 30-12-6 = 4а

0

1 I

3 9

Определение 18. Алгебраическим дополнением элемента ац опреде­лителя (J.3L) называется число

(1.32)

Так, для приведенного ранее примера алгебраическое дополнение Ап = (" І)51 48 = -48. Миноры и алгебраические дополнения иірают важную роль в алгебре и ее приложениях. Одним из таких примене­ний является теорема о способе вычисления определителей.

Теорема 1.4. Определитель равен сумме произведений элементов лю­бой строки на их алгебраические дополнения:

= алАл +алАл +.

■ +а..А..

\<\<п

(1.33)

Формула (1.33) называется разложением определителя по і-й строке. Аналогичное утверждение имеет место и для разложения опреде­лителя по любому столбцу. Эта формула сводит вычисление опре­делителя и-го порядка к вычислению п определителей (и - 1)-го по­рядка,

Пример 9. Вычислить определитель 4-го порядка

12 4 7 0 3 0 2 2 4 3 2 6  3 11

Решение. В принципе, разложить определитель можно по любой стро­ке (столбцу) согласно формуле (1.33). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (стол­бец), в которой побольше нулевых элементов. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определи­теля имеет вид

Д4 =0А.п + 3- Аїг + 0- Ап

Л» =

1.3. Определители 2

= 3(3+14 + 48

1.3.4, Ранг матрицы и системы векторов

1. Пусть дана матрица А, состоящая из т строк и п столбцов. Выделим в ней произвольным образом к строк н к столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу к-го порядка; определитель этой матрицы явля­ется минорам к-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-ro порядка может быть несколько. При этом макси­мальный порядок миноров равен минимальному из чисел т и п, т. е.

max£ = mm(m. «). (1.34)

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те, которые отлич­ны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по край­ней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 19. Наибольший порядок миноров матрицы А, отлич­ных от нуля, называется рангом этой матрицы.

Определение 20. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которо­го равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.

Заметим, что в общем случае у матрицы может быть несколько базис­ных миноров.

В 1.2.6 было дано определение ранга матрицы как наибольшего числа линейно независимых се векторов-строк (столбцов). В курсе алгебры доказывается, что эти два определения эквивалентны. Приведеное в данном разделе определение дает возможность вычислять ранг матри­цы, а значит, и ранг системы векторов.

Пример 10. Найти ранг матрицы размера 4 к 6

2^ 2

5 '

Щ

А =