Название: Математические методы исследования операций в экономике

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 1030

Введение

Начало развития исследования операций как науки традиционно связывают с сороковыми годами двадцатого столетия. Среди первых исследований в данном направлении может быть названа работа Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», вышедшая в 1939 г. В зарубежной литературе отправной точкой обычно считается вышедшая в 1947 г. работа Дж. Данцига, посвященная решению линейных экстремальных задач.

Следует отметить, что не существует жесткого, устоявшегося и общепринятого определения предмета исследования операций. Часто при ответе на данный вопрос говорится, что «исследование операций представляет собой комплекс научных методов для решения задач эффективного управления организационными системами» [14].

Природа систем, фигурирующих в приведенном определении под именем «организационных», может быть самой различной, а их общие математические модели находят применение не только при решении производственных и экономических задач, но и в биологии, социологических исследованиях и других практических сферах. Кстати, само название дисциплины связано с применением математических методов для управления военными операциями.

Несмотря на многообразие задач организационного управления, при их решении можно выделить некоторую общую последовательность этапов, через которые проходит любое операционное исследование. Какправило, это:

1. Постановка задачи.

2. Построение содержательной (вербальной) модели рассматриваемого объекта (процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возможных управляющих воздействий, влияющих на достижение сформулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия.

3. Построение математической модели, т. е. перевод сконструированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.

4. Решение задач, сформулированных на базе построенной математической модели.

5. Проверка полученных результатов на их адекватность природе изучаемой системы, включая исследование влияния так называемых внемодельных факторов, и возможная корректировка первоначальной модели.

6. Реализация полученного решения на практике.

Центральное место в данной книге отведено вопросам, относящимся к четвертому пункту приведенной выше схемы. Это делается не потому, что он является самым важным, сложным или интересным, а потому, что остальные пункты существенно зависят от конкретной природы изучаемой системы, в силу чего для действий, которые должны производиться в их рамках, не могут быть сформулированы универсальные и содержательные рекомендации. По этому поводу, например, X. Таха заметил, что исследование операций одновременно является как наукой, так и искусством [27].

Математическое моделирование в исследовании операций является, сводной стороны, очень важным и сложным, а с другой — практически не поддающимся научной формализации процессом. Заметим, что неоднократно предпринимавшиеся попытки выделить общие принципы создания математических моделей приводили либо к декларированию рекомендаций самого общего характера, трудноприложимых для решения конкретных проблем, либо, наоборот, к появлению рецептов, применимых в действительности только к узкому кругу задач. Поэтому более полезным представляется знакомство с техникой математического моделирования на конкретных примерах.

В качестве таких примеров приведем несколько классических экономико-математических моделей и задач, которые могут быть сформулированы на их основе.

Управление портфелем активов. Рассмотрим проблему принятия инвестором решения о вложении имеющегося у него капитала. Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования, имеющих условные имена от А до F, задается следующей таблицей.

Предположим, что при принятии решения о приобретении активов должны быть соблюдены условия:

a) суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет $ 100 000;

b) доля средств, вложенная в один объект, не может превышать четверти от всего объема;

c) более половины всех средств должны быть вложены в долгосрочные активы (допустим, на рассматриваемый момент к таковым относятся активы со сроком погашения после 2004 г.);

d) доля активов, имеющих надежность менее чем 4 балла, не может превышать трети от суммарного объема.

Приступим к составлению экономико-математической модели для данной ситуации. Целесообразно начать процесс с определения структуры управляемых переменных. В рассматриваемом примере в качестве таких переменных выступают объемы средств, вложенные в активы той или иной фирмы. Обозначим их как хА, хВ, хC, хD, хЕ, хF. Тогда суммарная прибыль от размещенных активов, которую получит инвестор, может быть представлена в виде

На следующем этапе моделирования мы должны формально описать перечисленные выше ограничения a-d на структуру портфеля.

a) Ограничение на суммарный объем активов:

хA + хB + хC + хD + хE + хF ≤ 100 000.        (2)

b) Ограничение на размер доли каждого актива:

хA ≤ 25 000, xB ≤ 25 000, xC ≤ 25 000,

         xD ≤ 25 000,  xE ≤ 25 000, xF ≤ 25 000.        (3)

c) Ограничение, связанное с необходимостью вкладывать половину средств в долгосрочные активы:

xB + xC ≥ 50 000.                (4)

d) Ограничение на долю ненадежных активов:

хC + хD ≤ 30 000.                (5)

Наконец, система ограничений в соответствии с экономическим смыслом задачи должна быть дополнена условиями неотрицательности для искомых переменных:

хA ≥ 0, хB ≥ 0, хС ≥ 0, хD ≥ 0, хE ≥ 0, хF ≥ 0.      (6)

Выражения (1)-(6) образуют математическую модель поведения инвестора. В рамках этой модели может быть поставлена задача поиска таких значений переменных хA, xB, xC, xD, xE, xF, при которых достигается наибольшее значение прибыли (т. е. функции (1)) и одновременно выполняются ограничения на структуру портфеля активов (2)-(6).

Перейдем теперь к рассмотрению более общих моделей и задач.

Простейшая задача производственного планирования. Пусть имеется некоторый экономический объект (предприятие, цех, артель и т. п.), который может производить некоторую продукцию n видов. В процессе производства допустимо использование m видов ресурсов (сырья). Применяемые технологии характеризуются нормами затрат единицы сырья на единицу производимого продукта. Обозначим через аi,j  количество i-го ресурса (i Î 1: m), которое тратится на производство единицы j-го продукта (j Î 1:n). Весь набор технологических затрат в производстве j-го продукта можно представить в виде вектора-столбца

а технологию рассматриваемого предприятия (объекта) в виде прямоугольной матpицы pазмеpности m на n:

Если j-й продукт производится в количестве xj, то в рамках описанных выше технологий мы должны потратить a1,jxj  первого ресурса, a2,jxj — второго, и так далее, am,jxj - m-го. Сводный план производства по всем продуктам может быть представлен в виде n-мерного вектора-строки х = (х1, х2,...,хj,...,хn). Тогда общие затраты по i-му ресурсу на производство всех продуктов можно выразить в виде суммы

представляющей собой скалярное произведение векторов аj и х. Очевидно, что всякая реальная производственная система имеет ограничения на ресурсы, которые она тратит в процессе производства. В рамках излагаемой модели эти ограничения порождаются m-мерным вектором b=(b1, b2,...,bm), где bi — максимальное количество i-гo продукта, которое можно потратить в производственном процессе. В математической форме данные ограничения представляются в виде системы m неравенств:

Применяя правила матричной алгебры, систему (7) можно записать в краткой форме, представив левую часть как произведение матрицы А на вектор х, а правую — как вектор b:

К системе (8) также должны быть добавлены естественные ограничения на неотрицательность компонентов плана производства: х1 ≥ 0,..., хj ≥0, .... хn  ≥ 0, или, что то же самое,

Обозначив через сj цену единицы j-го продукта, получим выражение суммарного дохода от выполнения плана производства, задаваемого вектором х:

Формулы (8)-(10) являются не чем иным, как простейшей математической моделью, описывающей отдельные стороны функционирования некоторого экономического объекта, поведением которого мы хотим управлять. В рамках данной модели, вообще говоря, можно поставить различные задачи, но, скорее всего, самой «естественной» будет задача поиска такого плана производства х Î Rn, который дает наибольшее значение суммарного дохода, т. е. функции (10), и одновременно удовлетворяет системе ограничений (8)-(9). Кратко такую задачу можно записать в следующем виде:

Несмотря на явную условность рассматриваемой ситуации и кажущуюся простоту задачи (11), ее решение является далеко не тривиальным и во многом стало практически возможным только после разработки специального математического аппарата. Существенным достоинством используемых здесь методов решения является их универсальность, поскольку к модели (11) могут быть сведены очень многие как экономические, так и неэкономические проблемы.

Поскольку любая научная модель содержит упрощающие предпосылки, для корректного применения полученных с ее помощью результатов необходимо четкое понимание сути этих упрощений, что, в конечном счете, и позволяет сделать вывод об их допустимости или недопустимости. Наиболее «сильным» упрощением в рассмотренной модели является предположение о прямо пропорциональной (линейной) зависимости между объемами расхода ресурсов и объемами производства, которая задается с помощью норм затрат аi,j. Очевидно, что это допущение далеко не всегда выполняется. Так, объемы расхода многих ресурсов (например, основных фондов) изменяются скачкообразно в зависимости от изменения компонентов объема производства х. К другим упрощающим предпосылкам относятся предположения о независимости цен сj от объемов хj, что справедливо лишь для определенных пределов их изменения, пренебрежение эффектом кооперации в технологиях и т. п. Данные «уязвимые» места важно знать еще и потому, что они указывают принципиальные направления совершенствования модели.

Транспортная задача. Рассмотрим проблему организации перевозки некоторого продукта между пунктами его производства, количество которых равно m, и n пунктами потребления. Каждый i-й пункт производства (iÎ 1:m) характеризуется запасом продукта аi ≥ 0, а каждый j-и пункт потребления (j Î 1: n) — потребностью в продукте bj ≥ 0. Сеть дорог, соединяющая систему рассматриваемых пунктов, моделируется с помощью матрицы С размерности m на n, элементы которой сi,j представляют собой нормы затрат на перевозку единицы груза из пункта производства i в пункт потребления j. План перевозки груза в данной транспортной сети представляется в виде массива элементов размерности m х n:

х = (x1,1…x1,n, x2,1….,x2,n,… , xi,1, …, xi,n,…, xm,1,…,xm,n).        (12)

В (12) план перевозок х может рассматриваться как вектор, распадающийся на m групп, по n элементов в каждой, причем i-я группа соответствует объемам груза, вывозимым из j-го пункта производства во все возможные пункты потребления. Если реальная перевозка между пунктами i и j отсутствует, то полагают хi,j = 0.

Ограничения на возможные значения х Î Rmn имеют вид:

Ограничение на удовлетворение потребностей во всех пунктах потребления:

2. Ограничения на возможности вывоза запасов из всех пунктов производства:

3. Условия неотрицательности компонентов вектора плана:

х, хi,j ≥ 0, i Î l : m, j Î l : n.            (15)

Существенной характеристикой описываемой модели является соотношение параметров аi и bj. Если суммарный объем производства равен суммарному объему потребления, а именно,

то система называется сбалансированной. При выполнении условия сбалансированности разумно накладывать такие ограничения на суммарный ввоз и вывоз груза, при которых полностью вывозится весь груз и не остается неудовлетворенных потребностей, т. е. условия (13) и (14) приобретают форму равенств.

По аналогии с задачей производственного планирования предположим, что затраты на перевозку прямо пропорциональны количеству перевозимого груза. Тогда суммарные затраты на перевозку в системе примут вид:

Функция (16) и описанные выше ограничения, записанные в форме

задают транспортную модель. На ее основе может быть сформулирована задача минимизации суммарных затрат на перевозки:

f(x)=cx → min, xÎ D,              (18)

которая в литературе получила название транспортной задачи в матричной постановке. Вообще говоря, транспортная задача является частным случаем задачи (11), но в силу ряда особенностей для ее решения применяются специфические методы, которые, помимо прочего, позволяют прийти к важным теоретическим обобщениям.

Общим для рассмотренных выше задач является то, что в них стоит проблема поиска наибольшего или наименьшего (оптимального) значения некоторой функции, отражающей цель управления системой, или, как еще говорят, целевой функции. Поиск оптимального значения осуществляется на некотором подмножестве допустимых значений переменных, описывающих состояние этой системы, именуемом множеством допустимых планов.

Пусть на некотором множестве D определена функция f(x). Напомним, что точка х*, принадлежащая D (х*Î D), называется точкой глобального максимума, если для любого xÎ D выполняется неравенство f(x) ≤ f(x*). В этом случае значение f(x*) называется глобальным максимумом функции. Точка х̀́ называется точкой локального максимума, если существует некоторая окрестность этой точки, в любой точке которой значение функции меньше, чем в   х́̀ (f(x) ≤ f(x́̀)). По аналогии, с точностью до знака неравенства, определяются глобальный и локальный минимумы. Обобщающим понятием для максимума и минимума является таксой термин, как экстремум (оптимум).

Необходимо отметить, что далеко не всегда весь комплекс целей и задач, стоящий перед моделируемым объектом, может быть выражен в форме некоторой целевой функции. Более того, осознание и осмысление этой проблемы стало своего рода переломным этапом в истории развития исследования операций как науки, положившим конец многим необоснованным ожиданиям и одновременно давшим толчок к развитию новых направлений, связанных с методами многокритериальной оптимизации. Однако следует иметь в виду, что все они базируются на фундаменте методов однокритериальной оптимизации, без ясного понимания которых невозможна работа с более сложным математическим аппаратом.

Как уже отмечалось выше, работа с данной книгой предполагает знакомство читателя с классическими методами поиска экстремума, основывающимися на аппарате дифференциального исчисления. Но непосредственное применение классических методов для оптимизации функций, зависящих от большого числа переменных, при наличии значительного количества ограничений наталкивается на серьезные вычислительные трудности, что  делает соответствующий аппарат неэффективным.

Мощным инструментом разрешения подобного рода задач стали специальные методы поиска экстремума, составляющие содержание раздела исследования операций, который называется математическое программирование. В данном случае понятие программирование употребляется в смысле планирование (в отличие от программирования для ЭВМ).

В свою очередь, в зависимости от вида решаемых задач, в математическом программировании выделяют такие области, как линейное, нелинейное, дискретное, динамическое, геометрическое, стохастическое программирование. Первые четыре раздела, а также их применение для решения экономических задач составили содержание последующих глав.