Название: Математические методы исследования операций в экономике

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 1030

1.1. постановка задачи линейного программирования

1.1.1. Формы задачи линейного программирования.

В общем виде задача линейного программирования* (в дальнейшем ЗЛП) может быть сформулирована как задача нахождения наибольшего значения линейной функции

на некотором множестве D Ì Rn, где х Î D удовлетворяют системе ограничений

и, возможно, ограничениям

х1 ≥0, х2 ≥0,..., хj ≥0,..., хn ≥0.           (1.3)

* Напомним, что частные примеры, сводящиеся к задаче линейного программирования, были описаны во введении.

Не умаляя общности, можно считать, что в системе (1.2) первые m ограничений являются неравенствами, а последующие — l-уравнениями. Очевидно, этого всегда можно добиться за счет простого переупорядочения ограничений. Относительно направления знака неравенства будем предполагать, что левая часть меньше или равна правой. Добиться этого можно, умножив на (-1) обе части тех неравенств, которые имеют противоположный знак. Ограничения (1.3), вообще говоря, могут быть рассмотрены как частный случай ограничений в форме неравенств, но в силу особой структуры их обычно выделяют отдельно и называют условиями неотрицательности (илитривиальными ограничениями).

Дополнительно следует заметить, что выбор типа искомого экстремума (максимума или минимума) также носит относительный характер. Так, задача поиска максимума функции

эквивалентна задаче поиска минимума функции

Часто условия задачи (1.1)-(1.3), содержащей ограничения только типа неравенств, бывает удобно записывать в сокращенной матричной форме

f(x) = сх → max, Ax ≤ b, х ≥ 0,          (1.6)

где с и х — векторы из пространства Rn, b — вектор из пространства Rm, а А — матрица размерности m х n.

Задачу линейного программирования, записанную в форме (1.1)-(1.3), называют общей задачей линейного программирования (ОЗЛП).

Если все ограничения в задаче линейного программирования являются уравнениями и на все переменные хj наложены условия неотрицательности, то она называется задачей линейного программирования в канонической форме, или канонической задачей линейного программирования (КЗЛП). В матричной форме КЗЛП можно записать в следующем виде:

Поскольку любая оптимизационная задача однозначно определяется целевой функцией f и областью D, на которой отыскивается оптимум (максимум), будем обозначать эту задачу парой (D, f).

Условимся относительно терминологии, которая используется в дальнейшем и является общепринятой в теории линейного программирования.

Планом ЗЛП называется всякий вектор х из пространства Rn.

Допустимым планом называется такой план ЗЛП, который удовлетворяет ограничениям (1.2)-(1.3), т. е. содержится в области D. Сама область D называется при этом областью допустимых планов. Оптимальным планом х* называется такой допустимый план, при котором целевая функция достигает оптимального (в нашем случае — максимального) значения, т. е. план, удовлетворяющий условию

max f(x) = f(x*).

Величина f* =f(х*) называется оптимальным значением целевой функции.

Решением задачи называется пара (х*, f*), состоящая из oптимального плана и оптимального значения целевой функции, а процесс решения заключается в отыскании множества всех решений ЗЛП.

1.1.2. Переход к канонической форме. Подавляющее большинство известных методов решения задач линейного программирования предназначены для канонических задач. Поэтому начальный этап решения всякой общей задачи линейного программирования обычно связан с приведением ее к некоторой эквивалентной канонической задаче.

Общая идея перехода от ОЗЛП к КЗЛП достаточно проста:

ограничения в виде неравенств преобразуются в уравнения за счет добавления фиктивных неотрицательных переменных хi, (i Î 1:m), которые одновременно входят в целевую функцию с коэффициентом 0, т. е. не оказывают влияния на ее значение;

переменные, на которые не наложено условие неотрицательности, представляются в виде разности двух новых неотрицательных переменных:

                                                                         -    =      -          =

хj = хj – хj, (xj ≥ 0, хj ≥ 0).

Проиллюстрируем применение описанных выше рекомендаций на примере. Пусть задана задача линейного программирования (D, f) в общей форме с целевой функцией

f(x) = 5х1  + 3x2 + x3 + 2х4 -2х5  →  max

и множеством допустимых планов D, определенным системой уравнений и неравенств,

Тогда в соответствии со сформулированными правилами эквивалентная каноническая задача будет иметь вид (D',f'), где:

а множество D' определено как:

Нетрудно заметить, что «платой» за переход от общей формы задачи линейного программирования к канонической является рост ее размерности, что, при прочих равных условиях, является фактором, усложняющим процесс решения.