Название: Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе Жанр: Экономика Рейтинг: Просмотров: 894 |
4.1. основные определения и аксиомыОбоснование выбора решения в предыдущих главах выполнялось с позиции объективиста. Если же ЛПР - субъективист, то он будет руководствоваться индивидуально определенным БДЭ. Поясним смысл этой величины. Рассмотрим ситуацию, когда игрок с вероятностью 0,8 выигрывает 40 дол. и с вероятностью 0,2 проигрывает 20 дол. Попробуем выяснить, за какую сумму ЛПР уступит свое право участвовать в игре. Как отмечалось, объективист пользуется правилом: БДЭ = ОДО = 0,8*40 + 0,2 (–20) = 28 дол. Поэтому свое право на игру он уступит не менее чем за 28 дол. Субъективист, как правило, готов уступить свое право на игру за меньшую сумму, поскольку для него БДЭ < ОДО. Причинами такого поведения могут быть: • финансовое состояние игрока (возможно, он на грани банкротства и ему необходимы денежные средства); • отношение игрока к риску вообще (склонность к риску); • настроение или состояние здоровья игрока; • множество других, даже непосредственно не относящихся к бизнесу причин. Величина БДЭ может изменяться со временем в зависимости от обусловленных указаннымипричинами обстоятельств. Например, в случае катастрофической нехватки финансовых средств (наличных денег) право на игру можно уступить и за более низкий эквивалент. Исследуем реалистичность критерия выбора решения, основанного на расчете ОДО. Рассмотрим две альтернативы: 1) выигрыш 1 000 000 дол. с вероятностью 1; 2) игра (лотерея): выигрыш 2 100 000 дол. с вероятностью 0,5 и проигрыш 50 000 дол. с вероятностью 0,5. В этом случае ОДО= 0,5* 2 100 000 - 0,5* 50 000 = 1 025 000 дол. Относительно получаемого среднего выигрыша указанные альтернативы практически эквивалентны, и если игрок безразличен к риску, он выберет вторую альтернативу. Если он к риску не безразличен, а подавляющее число людей именно таковыми являются, то выбор будет зависеть главным образом от финансового состояния игрока. Игроки, имеющие скромный денежный доход, предпочтут не рисковать и выберут гарантированный выигрыш. Для ЛПР, обладающего достаточно крупным капиталом, проигрыш в 50 000 дол. невелик, и он предпочтет рискнуть. Рисковать будут также игроки, патологически склонные к финансовым авантюрам. В данной главе будут изложены основы математической теории принятия субъективных решений [13]. Методология рационального принятия решений в условиях неопределенности, основанная на функции полезности индивида, опирается на пять аксиом, которые отражают минимальный набор необходимых условий непротиворечивого и рационального поведения игрока. Для компактного изложения аксиом нам потребуется следующее определение. Определение 4.1. Предположим, что конструируется игра, в которой индивид с вероятностью а получает денежную сумму х и с вероятностью (1 – a) - сумму z. Эту ситуацию будем обозначать G(x, z: a). Аксиома 1. Аксиома сравнимости (полноты). Для всего множества S неопределенных альтернатив (возможных исходов) индивид может сказать, что либо исход х предпочтительнее исхода у (х у), либо у х, либо индивид безразличен в отношении к выбору между х и у (х у). Запись х у означает, что исход х предпочтительнее исхода у либо индивид безразличен в отношении к выбору между х и у. Аксиома 2. Аксиома транзитивности (состоятельности). Если х у и у z, то х z. Если х у и у z, то х z. Аксиома 3. Аксиома сильной независимости. Предположим, что мы конструируем игру, в которой индивид с вероятностью а получает денежную сумму х и с вероятностью (1 - α) — сумму z, т.е. G(x, z: α). Сильная независимость означает, что если индивид безразличен в отношении к выбору между х и у (х у), то он также будет безразличен в отношении к выбору между игрой (лотереей) G(x, z: α) и игрой G(y, z: α), т.е. из х у следует G(x, z: α) G(y, z: α). Аксиома 4. Аксиома измеримости. Если х у z или х у z, то существует единственная вероятность α, такая, что у G(x, z: α). Поясним смысл этой аксиомы. Пусть, например, имеем три исхода: х = 1000; у = 0; z означает смерть игрока. Исходя из здравого смысла смерть нельзя сравнивать ни с каким выигрышем, и соответствующего этому исходу значения вероятности α существовать не может. Однако в жизни бывают ситуации, когда некий проигрыш равнозначен смерти. Тогда утверждение у G(x, z: α) можно считать справедливым для некоторого значения . Аксиома 5. Аксиома ранжирования. Если альтернативы у и и находятся по предпочтительности между альтернативами х и z и можно построить игры, такие, что индивид безразличен в отношении к выбору между у и G(x, z: α2), a также к выбору между и и G(x, z: α2), то при у и. Поясним смысл этой аксиомы. Пусть существуют следующие альтернативы: х = 1000; у = 500; и = 200; z = –10. Пусть эквивалентны две пары ситуаций, одна из которых неигровая, а другая игровая: 1) гарантированно получить 500 или игра: с вероятностью α1, выиграть 1000 и с вероятностью (1 – α1) проиграть 10, т.е. 500 G(1000, -10: α1); 2) гарантированно получить 200 или игра: с вероятностью α2 выиграть 1000 и с вероятностью (l - α2) проиграть 10, т.е. 200 G(1000, -10: α2). Очевидно, что при указанных условиях α1 α2. Если α1 + α2, то у и. Утверждение аксиомы вполне соответствует здравому смыслу: чем больше вероятность крупного выигрыша, тем больше игра «стоит», т.е. тем большая плата потребуется за приобретение права участвовать в этой игре. Если принять приведенные аксиомы и предположить, что люди предпочитают большее количество некоторого блага меньшему, то все это в совокупности определяет рациональное поведение ЛПР. При названных предположениях американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном было показано, что ЛПР при принятии решения будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности. Другими словами, из всех возможных решении он выберет то, которое обеспечивает наибольшую ожидаемую полезность. Сформулируем определение полезности по Нейману-Моргенштерну. Определение 4.2. Полезность - это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. Функция полезности Неймана - Моргенштерна для ЛПР показывает полезность, которую он приписывает каждому возможному исходу. У каждого ЛПР своя функция полезности, которая показывает его предпочтение к тем или иным исходам в зависимости от его отношения к риску. Определение 4.3. Ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов. Проиллюстрируем практическую реализацию введенных понятий на примере расчета ОДО и сопоставления этого значения с полезностью. Задача 4.1. Нефтеперерабатывающая фирма решает вопрос о бурении скважины. Известно, что если фирма будет бурить, то с вероятностью 0,6 нефти найдено не будет; с вероятностью 0,1 запасы месторождения составят 50 000 т; с вероятностью 0,15 -100 000 т; с вероятностью 0,1 - 500 000 т; с вероятностью 0,05 -1 000 000 т. Если нефть не будет найдена, то фирма потеряет 50 000 дол.; если мощность месторождения составит 50 000 т, то потери снизятся до 20 000 дол.; мощность месторождения в 100 000 т принесет прибыль 30 000 дол.; 500 000 т- 430 000 дол.; 1 000 000 т - 930 000 дол. Дерево решений данной задачи представлено на рис. 4.1. Нетрудно рассчитать ожидаемое значение выигрыша: ОДО = 0,6(-50 000) + 0,1 (-20 000) + 0,15*30 000 + + 0,1*430 000 + 0,05*930 000 = 62 000 дол. Рис. 4.1. Дерево решений для задачи 4.1 (прибыль указана в долларах)
Если ЛПР, представляющий фирму, безразличен к риску и принимает решение о проведении буровых работ на основании рассчитанного ОДО, то он воспринимает ожидаемую полезность как пропорциональную ОДО, полагая U = 62. Учитывая, что U - индивидуальное число, характеризующее ЛПР, нули, отвечающие расчету ОДО, можно отбросить. В этом случае функция полезности U(v), где v - прибыль, получаемая при различных исходах, является прямой с положительным наклоном. Ниже будет показано, что U можно задавать с точностью до некоторого монотонного преобразования. Для принятия решения в случае небезразличия ЛПР к риску необходимо уметь оценивать значения полезности каждого из допустимых исходов. Дж. Нейман и О. Моргенштерн предложили процедуру построения индивидуальной функции полезности, которая (процедура) заключается в следующем: ЛПР отвечает на ряд вопросов, обнаруживая при этом свои индивидуальные предпочтения, учитывающие его отношение к риску. Значения полезностей могут быть найдены за два шага. Шаг 1. Присваиваются произвольные значения полезностей выигрышам для худшего и лучшего исходов, причем первой величине (худший исход) ставится в соответствие меньшее число. Например, для приведенной выше задачи U(-50 000 дол.) = 0, а U(930 000 дол.) = 50. Тогда полезности промежуточных выигрышей будут находиться в интервале от 0 до 50. Полезность исхода даже для одного индивида определяется не однозначно, а с точностью до монотонного преобразования. Пусть, например, имеем x1, х2,..., хn - полезности, приписываемые п ожидаемым значениям выигрышей. Тогда α+βx1, α+βх2,..., α+βхn (где (β > 0) также будут полезностями. Если в задаче 4.1 при расчете полезности отбросить последние нули, это будет эквивалентно линейному преобразованию функции полезности при α = 0 и β = 0,001. Шaг 2. Игроку предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную денежную сумму , находящуюся между лучшим и худшим значениями S и s, либо принять участие в игре, т.е. получить с вероятностью р наибольшую денежную сумму S и с вероятностью (1 - р) - наименьшую сумму s. При этом вероятность следует изменять (понижать или повышать) до тех пор, пока ЛПР станет безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы и игрой. Пусть указанное значение вероятности равно р0. Тогда полезность гарантированной суммы определяется как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм, т.е. U() = p0 U(S) + (1 – p0)U(s). (4.1) Рассчитаем полезность результатов любого из возможных исходов для задачи 4.1. Пусть для ЛПР безразлично: потерять 20 000 дол. или принять участие в игре (выигрыш 930 000 дол. с вероятностью 0,1 или проигрыш 50 000 дол. с вероятностью 0,9). Согласно формуле (4.1) имеем: U(-20) = 0,1 U(930) + 0,9 U(-50) = 5, при этом по определению принято, что U(-50) = 0, U(930) = 50, откуда следует, что U(-20) = 5. Таким образом, если определена шкала измерения, то может быть построена функция полезности ЛПР (рис. 4.2). Рис. 4.2. График полезности для задачи 4. Рис. 4.3. Типы функции полезности Неймана — Моргенштерна для ЛПР, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного к риску (в) В общем случае график функции полезности может быть трех типов (рис. 4.3): • для ЛПР, не склонного к риску, — строго вогнутая функция, у которой каждая дуга кривой лежит выше своей хорды (рис. 4.3 а); • для ЛПР, безразличного к риску, — прямая линия (рис. 4.3 б), • для ЛПР, склонного к риску, — строго выпуклая функция, у которой каждая дуга кривой лежит ниже своей хорды (рис. 4.3 в). |
| Оглавление| |
- Акмеология
- Анатомия
- Аудит
- Банковское дело
- БЖД
- Бизнес
- Биология
- Бухгалтерский учет
- География
- Грамматика
- Делопроизводство
- Демография
- Естествознание
- Журналистика
- Иностранные языки
- Информатика
- История
- Коммуникация
- Конфликтология
- Криминалогия
- Культурология
- Лингвистика
- Литература
- Логика
- Маркетинг
- Медицина
- Менеджмент
- Метрология
- Педагогика
- Политология
- Право
- Промышленность
- Психология
- Реклама
- Религиоведение
- Социология
- Статистика
- Страхование
- Счетоводство
- Туризм
- Физика
- Филология
- Философия
- Финансы
- Химия
- Экология
- Экономика
- Эстетика
- Этика
Лучшие книги
Гражданский процесс: Вопросы и ответы
ЗАПАДНОЕВРОПЕЙСКОЕ ИСКУССТВО от ДЖОТТО до РЕМБРАНДТА
Коммуникации стратегического маркетинга
Консультации по английской грамматике: В помощь учителю иностранного языка.
Международные экономические отношения