Название: Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 894

8.2. принятие решений в сельском хозяйстве

Задача 8.2. Планирование участков земли под картофель, проводимое методом Байеса. При наличии больших массивов земли в хозяйстве можно сознательно выбирать наиболее выгодные для урожая участки с учетом их влажности.

В период вегетации требуется определенное количество влаги. Если влажность будет излишняя, то часть посадочного материала начнет гнить, урожай будет плохим.

Картофель в средней полосе сажают обычно в апреле. В это время трудно предвидеть, каким будет лето - сухим или влажным. Фактически создается ситуация, которую можно считать игрой с природой. Мы должны принять решение, на каких участках сажать картофель: на сухих или на тех, которые сами по себе являются влажными.

Введем условные обозначения:

W = {Q1, Q2} - множество состояний природы;

Q1 - осадки выше нормы;

Q2 – сухое лето (осадки не выше нормы);

А = {а1, a2} - множество решений статистика;

а1 - посадку производить на участках с большой влажностью почвы;

a2 - посадку производить на сухих участках, так как ожидается влажное лето.

Известны средние урожаи в зависимости отпринятого решения и состояния природы. При этом наименьшие урожаи бывают, если осадки выше нормы (Q1), и принимается решение а1 -сажать картофель на влажных участках.

Наибольшие урожаи в среднем бывают при решении а2 -сажать картофель на сухих участках и при состояниях природы Q1 - влажное лето.

Прибыль на 1 га в тыс. руб. в среднем известна по многолетним результатам (табл. 8.5).

Таблица 8.5

Итак, мы получили значения прибыли, а нас интересуют потери.

Решение. Представим функцию потерь L(Q, a) в виде разности между наибольшей прибылью и прибылью, которая может быть получена во всех остальных случаях (табл. 8.6).

Статистик должен получить дополнительную информацию о состояниях природы при наблюдениях погоды в апреле, когда проводится посадка.

Таблица 8.6

Пусть X = {x1, x2} - множество наблюдений, где х1 и х2 - наблюдается большое и малое количество осадков соответственно.

В зависимости от состояния природы Qj и наблюдения погоды хi получим следующие значения условных распределений:

По двум решениям статистика а1 и а2 и результатам наблюдения получаем четыре нерандомизированные функции решения d Î D  (табл. 8.7).

Таблица 8.7

В статистической игре (W, D, R), которая посвящена выбору участков земли для посадки картофеля, определим функции риска R(Q, d):

Полученные результаты функций риска R(Q, d) представим в табл. 8.8, откуда видно, что функция решения d2 доминирует над функцией d3. Следовательно, d2 недопустима. Она не относится к подмножеству допустимых функций решения. Мы в этом убедимся при расчете байесовских рисков.

Таблица 8.8

Будем считать, что в рассматриваемом районе априорное распределение состояний природы приводит к одинаковым шансам для сухого и влажного лета при исследовании состояний природы. Значит, Р(Q1) = 0,5; P(Q2) = 0,5.

Вычислим байесовский риск r(x, d):

Минимальный байесовский риск наблюдается для функции d3, что не противоречит выводу, сделанному из табл. 8.8.

Вывод. Нерандомизированная функция решения d3, которая включает решение для d(x1) = а2 и d(x2) = а1, является байесовской функцией решения. Это оптимальная стратегия статистика: в рассматриваемых условиях, если весной много осадков (x1), принимается решение а2 о том, что картофель нужно сажать на сухих участках земли А2. Если весной мало осадков (x2), принимается решение а1 о посадке картофеля на участках А1, где влажность почвы большая.

Задача 8.3. Планирование участков земли под посевы картофеля методом линейного программирования. В задаче 8.2 мы получили оптимальное байесовское решение d3. Теперь попробуем получить минимаксную, более осторожную стратегию.

Минимаксную функцию решения следует искать как смешанную стратегию среди рандомизированных функций решения, потому что матрица значений функций риска R(Q, d) для нерандомизированных функций решения d Î D не имеет седловой точки.

Применяя метод линейного программирования и учитывая, что при оптимальном решении ограничения записываются как равенства, получаем из табл. 8.8 при ненулевых значениях h1 и h3 систему уравнений, которая включает цену игры v:

В результате решения этой системы уравнений получим:

Вывод. Минимаксная стратегия, еще более осторожная, чем оптимальная байесовская, для сельскохозяйственного предприятия заключается в использовании стратегий d1 и d3 с вероятностью соответственно 0,04 и 0,96.

Как это применять на практике?

Если весной наблюдается х1 (большое количество осадков), то осуществляется случайный выбор с вероятностями 0,04 и 0,96 одного из решений: а1 или а2. При наблюдении х2 (малое количество осадков весной) принимается решение a1 о посадке картофеля на влажных участках А1.