Название: Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 894

8.3. статистический контроль партии готовых изделий и вероятность перебоев производства

На основе статистических планов приемки продукции всегда должно быть известно, сколько изделий следует случайным образом отобрать для статистического контроля и при каких условиях принимается решение о браковке или приемке партии.

Планов контроля имеется большое множество, однако благодаря своей простоте часто применяется одноступенчатый статистический план премки k|n, где п - объем выборки; k - приемочное число. Если из проверенных изделий число дефектных Z не будет превышать k, партия принимается. Значит, k - допустимое число дефектных в выборке из п изделий.

Представитель торгового предприятия при Z £ k считает партию хорошей и принимает ее на основе анализа выборки. Затем производитель покрывает стоимость каждого обнаруженного в переданной партии бракованного изделия путем замены, бесплатного ремонта или другим путем, означенным в договоре.

Если Z > k, то партия не принимается торговым предприятием, а производитель осуществляет сплошную проверку партии и выявляет дефектные изделия.

Задача 8.4. Выбрать оптимальное критическое число k. Значение k может быть определено при помощи статистической игры.

Введемобозначения:

W (WÎW), доля дефектных изделий, - состояние природы Q;

N - объем партии изделии;

W = [0,1] - интервал от 0 до 1 с включением границ этого интервала;

А = {а1, a2}- множество решении статистика, где а1, а2 - решения о приемке и о браковке партии со сплошным ее контролем соответственно;

С1 - затраты на проверку одного изделия;

С2- сумма, уплачиваемая производителем за каждое обнаруженное дефектное изделие после приемки партии.

Функция потерь

где      С1п - стоимость контроля выборочной совокупности изделии в процессе контроля;

C2(N–n)W - сумма, выплачиваемая производителем за изделия, когда они окажутся дефектными после приемки;

С1 n + С2(N–п) - затраты на сплошной контроль, если партия не была принята.

Итак, стратегическая игра будет иметь вид (W, A, L). Для определенности будем считать:

• торговая фирма оплачивает только исправные изделия, а дефектные заменяются исправными;

• при большой партии распределение вероятностей случайной переменной - числа дефектных изделий Z - подчиняется биномиальному закону. Функция вероятности зависит от действительной доли бракованных изделий в принимаемой партии W:

• контролер наблюдает число Z в выборке объема п;

• d(Z) = а - статистическая нерандомизированная функция решения контролера. Контролер может принять одно из двух значений: a1 (принять) или a2 (не принять партию).

Однако нам необходимо осуществить оптимальный выбор критического числа k, поэтому перейдем к статистической игре. В этой игре используем информацию о числе Z забракованных изделий в выборке объемом п; распределение Z зависит от состояния природы W - доли дефектных изделий.

Решение. Для состояния природы W и статистической нерандомизированной функции решения d(Z), определяющей критическое число k при контроле партии готовых изделий, можно в статистической игре (W, D, R) найти функцию платежей или функцию риска R(W, d):

Это выражение можно раскрыть, используя биномиальное распределение.

Далее в качестве целевой функции d(Z), определяющей оптимальное критическое число k выберем байесовскую нерандомизированную функцию. Пусть процесс производства является отлаженным, тогда доля дефектных изделий в партии W будет иметь бета-распределение, заданное на интервале [0,1]. В зависимости от принятых параметров р и q можно определить априорное распределение доли дефектных изделий W в принимаемых партиях.

Таким образом, априорным распределением x состояний природы W принимается бета-распределение с функцией плотности

Известно, что существует связь между бета- и гамма-функциями:

Байесовский риск при этом распределении будет

Этот байесовский риск следует минимизировать относительно k. При известных размерах партии N, выборки п, затрат C1 и С2, параметров априорного бета-распределения р и q байесовский риск будет только функцией k:

r(x, d) = f(k).

Теперь нужно найти такое натуральное k, чтобы удовлетворялись неравенства

                                                                                f(k)£ f(k+1) и f(k)£ f(k–1)

Рассмотрим неравенство f(k)£ f(k+1), из которого следует, что f(k+1) – f(k) ³ 0.

Используя связи между бета- и гамма-распределениями  и формулу гамма-функции Г(n) = (n–1)! , где (n–1)! - факториал, получим f(k+1) – f(k) ³ 0, если С2(р + k + 1)/(р + q + п) – С1  £ 0.

Значит, (p+k+1) ³ (p+q+n) и неравенство f(k) £ f(k+ 1) выполняется при k ³ (p+q+n) - (p+1).

Обратимся к неравенству f(k–1) – f(k) ³ 0 и найдем значение k, для которого оно выполняется. При этом необходимо преобразовать байесовский риск r(x, d) = f(k), после чего получаем неравенство f(k–1) – f(k) ³ 0, которое выполняется, если С2 р + k)/(p + q + п) – C1  £ 0. Тогда (p + k) £  (p+q+n), т. е. при k£ (p+q+n)  - p. В этом случае байесовский риск примет минимальное значение для такого натурального числа k, которое удовлетворяет двойному неравенству:

Вывод. С помощью нерандомизированной байесовской функции получаем решение при одноступенчатом статистическом плане приемки партии изделий, если известно распределение доли дефектных изделий в партии, т.е. априорное распределение состояний природы.

Пример 8.1. Производитель продает торговой фирме большую (п = 100) партию изделий. По договору представитель торговой фирмы отбирает случайным образом п = 30 изделий. Контроль проводится по согласованной программе при одноступенчатом плане. Стоимость проверки одного изделия C1 = 180 руб., стоимость исправного изделия С2 = 2 000 руб.

Требуется найти критическое число k при предположении, что доля дефектных изделий W подчинена бета-распределению.

Предполагаем, что доля бракованных изделий при отлаженном производстве близка к нулю, поэтому g(W) будет иметь большое значение. Пусть аргументы бета-функции B(p,q) равны: p=1, q=5.

Нужно построить график распределения и определить минимальное число k. (Функция на графике при росте доли дефектных изделий будет быстро стремиться к нулю.)

Решение. Определим B(p,q):

Используя значения доли W (пусть W = 0; 0,05; 0,1; 0,2; ...,0,9;1), получаем:

Составим таблицу распределения g{W) при значении аргументов бета-функции: q = 5, р = 1 (табл. 8.9).

Таблица 8.9

Найдем критическое число k при п = 30, которое должно удовлетворять двойному неравенству:

Подставив численные значения параметров в эти неравенства, получаем k:

0,09*36 - 1 - 1 £ k £ 0,09*36 - 1.

1,24 £ k £ 2,24.

Следовательно, k = 2 .

Вывод. Критическое число равно 2, статистический план запишется (2|30).

Партия будет принята при числе бракованных в выборке из 30 изделий, не превышающем 2 шт. В противном случае партия будет забракована.

Пример 8.2. Для условий примера 8.1 при плане (2|30) подсчитать функцию потерь при: k = 3; k = 2 и возможном отказе в принятой партии двух изделий из числа непроверенных (N-n), если N = 100; k = 2 и возможном возврате изделий из числа непроверенных, если W= 0,05.

Решение. Определим функцию потерь при k = 3, полагая согласно рис. 8.1, что р = 1:

Рис. 8.1. Бета-распределение при р = 1,q=5

Найдем функцию потерь при k = 2, когда партия была принята, но затем в торговой фирме было обнаружено 2 неисправных изделия из числа непроверенных при сдаче:

L(W, a1) = 180n +2C2+2C2 = 180*30 + 4*2 000 = 5 400 + 8 000 = 13400 руб.

Вычислим функцию потерь при k = 2 и возможных отказах при W =0,05:

L(W, а1) = 180n + 2C2 + C2(N - n) = 5 400 + 4 000 + 70*0,050C2 = 9400 + 3,5*2000 = 16400 руб.

Поскольку 3,5 отказа невозможны (могут быть 3 или 4), добавляем (отнимаем) половину стоимости изделия и получаем:

L(W, a1) = (16400 ± 1000) руб.

Пример 8.3. Оставим условия примера 8.1, но изменим объем выборки. Вместо п = 30 примем п = 45. Требуется определить критическое число k, если оно удовлетворяет двойному неравенству при нерандомизированной байесовской функции решения r(x, d)=f(k):

                                                                (p+q+n) – p – 1 £ k £  (p+q+n) – p.

Решение. Запишем в принятых выше обозначениях условия: С1 = 180 руб.; С2 = 2 000 руб.; р = 1; q = 5, п = 45:

                                                (p+q+n)=1+5+45=51; ==0,09.

Вычислим минимальное значение k:

0,09*51 - 1 - 1 £ k  £ 0,09*51 - 1;

2,59 £ k £  3,59.

Таким образом, k = 3.

Вывод. Партия будет принята при k == 1, 2 или 3, а при k = 4 или более партия изделии будет забракована, 4 бракованных изделия будут заменены в выборке на годные, остальные 55 из 100 изделий будут проверены.

Пример 8.4. Оценить возможности сбоев производства из-за нарушения кооперированных поставок.

С помощью методов математического программирования можно составить оптимальный план производства. Однако этот план при нерегулярности кооперированных поставок смежников может быть фактически не реализован.

В данной ситуации возможно вычислить вероятность регулярности кооперированных поставок, что должно соответствовать вероятности отсутствия сбоев производства.

Введем обозначения:

Q (состояние природы) - вероятность отсутствия сбоев производства Q Î W = [0,1];

А = [0,1] - область решения статистика;

а - оценка вероятности Q.

Примем в виде квадратичной функцию потерь L(Q, a)= (Q - а)2. Оценим вероятность Q по информации за предыдущий месяц. Пусть W и N - события, заключающиеся в том, что в предыдущем месяце были соответственно выполнены и не выполнены кооперированные поставки. Пространство выборок Х= {W, N}; d - нерандомизированная функция решения статистика, отображающая пространство выборок Х в пространство решений А.

Решение. Функция решения может быть записана следующим образом:

d(W) = a1; d(N) = a2; a1 Î А; а2 Π А.

Имеет место статистическая игра (W, D, R).

Опишем функцию риска:

R(Q, d) = ML(Q, a).

Считаем, что вероятности событии будут:

P{W|Q} = Q;     P{N|Q} = 1 - Q.

Запишем функцию риска через а и Q.

Предположим, что для ряда месяцев вероятность отсутствия сбоев кооперированных поставок - это случайная величина с бета-распределением, имеющим параметры р > 0 и q > 0.

Функция плотности распределения вероятностей будет иметь вид:

Вид данной функции плотности распределения вероятностей можно определить, если примем бета-распределение с параметрами р = 3 и q = 1 (рис. 8.2 и табл. 8.10).

Рис. 8.2. Бета-распределение при р = 3, q =1

Таблица 8.10

Бета-распределение является априорным распределением x состояний природы QÎW = [0,1]. Определим байесовский риск:

где M(Q) = m1, и М(Q2) = т2 - первый начальный и второй начальный моменты Q при бета-распределении с функцией плотности g(Q) соответственно.

Известно, что

Чтобы определить выражения для получения a1 и a2, необходимо минимизировать байесовский риск для априорного распределения x. Продифференцируем r(x, d) по a1 и a2 и результаты приравняем к нулю:

Вывод. Вероятность бесперебойной работы определится как т2/т1, если в прошлом месяце не было срывов кооперированных поставок. В противном случае вероятность бесперебойной работы предприятия будет равна (т1 – m2)/(1 – m1).

Пример 8.5. Оценить вероятность отсутствия перебоев в кооперированных поставках в данном месяце, если события W и N состоят соответственно в отсутствии и наличии срыва поставок в предыдущем месяце.

Априорное распределение - это бета-распределение с параметрами р = 3, q = 1. В данном распределении значения Q, близкие к единице, имеют большую плотность, чем значения, близкие к нулю.

Решение. Определим

Вычислим

Определим вероятность бесперебойной работы предприятия при отсутствии срыва поставок в предыдущем месяце:

Оценим вероятность бесперебойной работы предприятия, если в прошлом месяце было событие N - срыв кооперированных поставок:

Выводы. Вероятность бесперебойной работы предприятия в данном месяце при условии выполнения договорных обязательств по кооперированным поставкам, если в прошлом месяце также не было срывов, равна 0,8.

Если же в прошлом месяце был срыв в кооперированных поставках, то вероятность бесперебойной работы предприятия снизится в этом месяце до 0,6.