Название: Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе

Жанр: Экономика

Рейтинг:

Просмотров: 894

8.4. определение оптимального запаса продукции торговой фирмы на основе статистических данных

Пусть Q - рыночный спрос на продукт торговой фирмы для фиксированного периода (день, неделя, месяц). Воспримем это как спрос игрока 1. Этот спрос может быть любым действительным положительным числом. Область состояний W = [0, ¥]. Продаваемый продукт оценивается, например, в килограммах и может заказываться в любом количестве. Нереализованный в данном периоде продукт не может быть продан в следующем периоде, так как теряет за время хранения свои потребительские качества. Значение QÎW заранее неизвестно.

Введем обозначения: а - запас продукта на некоторый период. Следовательно, считаем, что множество решений фирмы А = [0, ¥]; аÎА - конкретное решение фирмы (игрока 2), принимаемое в статистической игре с природой, которая определяет действительный спрос Q на продукт; L(Q, a) - функция потерь. Она является функцией платежей в исходной стратегической игре (W, A, L); k1 - себестоимость + дополнительные затраты на хранение 1 кг продукта, который не был продан в установленное время, так как спрос на него оказался меньше прогнозируемого;

k2-потеря прибыли на 1 кг продукта, обусловленная отсутствием товара, спрос на который превысил заказанное количество.

Принимая указанные обозначения, запишем кусочно-линейную функцию потерь фирмы:

Стратегическую игру (W, A, L) можно преобразовать в статистическую, если получить дополнительную статистическую информацию о спросе на продукт QÎW. Действительный спрос по периодам представлен заказчиком. Это вектор

который в различные периоды времени представляет разные размеры спроса. Пусть а = d(x) - статистическая нерандомизированная функция решения. Значение функции, определяющей оптимальное решение а об уровне запаса, найдем с помощью байесовской функции решения.

Известна функция действительного спроса на товар, соответствующего статистическому наблюдению, т. е. .

Функцию априорного наблюдения G(Q|) распределения спроса (состояний природы) обозначим F(Q).

Имеет место теорема: «Если, решая задачу, поставленную в форме статистической игры, статистик (игрок 2) провел эксперимент, наблюдая случайную величину Х с функцией условного распределения G(Q|) или [F(Q)], и получил результат х, то неслучайная байесовская функция решения относительно некоторого априорного распределения x состояний природы равна а = d(x), где а Î А - решение, минимизирующее ожидаемое значение функции потерь L(Q, а) в условном апостериорном распределении состояний природы, заданном функцией распределения G(Q| x)».

Согласно данной теореме нужно минимизировать математическое ожидание

С использованием формулы (8.1) можно определить математическое ожидание при апостериорном распределении спроса Q:

Минимизируя математическое ожидание функции потерь (8.2) относительно о, получим:

где f(a) - плотность в точке а апостериорного распределения спроса. В соответствии с необходимым условием (8.3) получим уравнение

откуда

Итак, с помощью байесовской функции получено выражение для оптимального запаса. Оно равно числу а0, удовлетворяющему равенству

где F(a0) -функция апостериорного распределения спроса Q на продукт.

Результат (8.4) с учетом (8.5) означает, что для a0 в распределении спроса Q должно выполняться условие . Значит, a0 должно быть квантилем порядка  апостериорного распределения спроса Q.

Для вычисления оптимального запаса а0 данного продукта на определенный период времени нужно:

1. Знать параметры k1 и k2, входящие в функцию потерь L(Q, a).

2. На основе статистических наблюдений получить апостериорное распределение спроса на товар.

3. С помощью функции этого распределения определить квантиль порядка .

Если, в частности, k1 = k2, то оптимальный уровень запаса a0 будет соответствовать равенству F(a0) = . Другими словами, оптимальный уровень запаса представляет собой медиану в апостериорном распределении спроса Q.

Распределение близко к нормальному N(M, d), где М - математическое ожидание, d - среднее квадратичное отклонение.

Значение a0 (или квантиль порядка ) можно определить по таблице нормированного нормального распределения.

Иногда распределение не относится ни к одному из известных исследователю законов распределения, тогда с помощью графика функции распределения спроса нужно определить квантиль порядка . Рассмотрим, как это делается на практике.

Пример 8.6. Требуется определить оптимальное значение запаса товара. Известно: k1 = 0,8; k2 = 0,2; распределение спроса Q.

Решение. Представим распределение дневного спроса на товар, полученное по данным наблюдения (табл. 8.11).

Таблица 8.11

По табл. 8.11 строим график распределения спроса на товар (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Определение квантиля распределения

Рассчитаем квантиль распределения:

По квантилю, равному 0,2 (см. рис. 8.3), определяем a0 = 12,3 тыс. руб. Это стоимостное выражение искомого оптимального запаса продукции торговой фирмы, равное 12,3 тыс. руб.