Название: Управление проектом. Основы проектного управления - Мазур И.И.

Жанр: Менеджмент

Рейтинг:

Просмотров: 11042


6.7. сетевые модели с вероятностной оценкой продолжительности работ

При расчете аналитических параметров сетевого графика (см. выше) пред­полагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. В боль­шинстве проектов соблюдение этого условия невозможно. Управление проектом направлено на достижение уникальной цели, что предполагает планирование и реализацию сложных комплексов работ, чаще всего не имевших в прошлом никаких аналогов. В советское время для определе­ния продолжительности работ использовались разного рода нормы и пра­вила. В настоящее время этой системы нормирования не существует: она была разрушена в ходе экономических реформ, к тому же взрывной харак­тер технологических изменений во многих отраслях народного хозяйства потребовал новых подходов к определению продолжительности работ. По­этому при реализации современных проектов необходимо использовать сетевые модели с вероятностной оценкой продолжительности работ.

Такие модели не следует путать со стохастическими (вероятностными) сетевыми моделями, так как сетевые модели с вероятностной оценкой продолжительности работ являются детерминированными. Детерминиро­ванные сетевые модели — сетевые модели, события которых не имеют вероятностной характеристики, т.е. обязательно свершаются и свершают­ся в установленной последовательности, хотя продолжительность работ может иметь вероятностную оценку.

Вместе с тем встречаютсяпроекты, в которых тот или иной комплекс последующих работ зависит от не известного заранее результата. Напри­мер, может быть предусмотрено несколько вариантов продолжения ис­следования в зависимости от полученных опытным путем данных или несколько вариантов строительства предприятий различной мощности по обработке сырья в зависимости от результатов разведки запасов этого сырья. Такого рода сетевые модели называются стохастическими. Стоха­стические сети, так же как и детерминированные, могут характеризовать­ся детерминированными либо случайными продолжительностями работ.

Конечно, и при построении сетевых моделей с вероятностной оценкой продолжительности работ и при построении стохастических сетевых мо­делей мы имеем дело с одним и тем же явлением —■ с неопределенностью. Таким образом, стохастические модели отличаются от детерминирован­ных по структуре, а не по вероятности или детерминированности продол-жительностей работ. Поэтому следует правильно использовать устоявшу­юся терминологию.

Рассматриваемые здесь методы были первоначально разработаны в рам­ках методики PERT.

Рассмотрим несложный математический аппарат этих методов и проде­монстрируем, как его использовать при расчете параметров сетевых моде­лей в условиях вероятностной оценки продолжительности работ и проек­та в целом.

При расчете сетевых моделей методом PERT продолжительность работ является случайной величиной, подчиняющейся собственному закону рас­пределения, а значит, обладающей собственными числовыми характери­стиками. Такими характеристиками являются средняя продолжительность

работы и дисперсия оценки продолжительности работы (диспер­сия работы) су_(.

Значения и of^ рассчитываются при допущении, что распределение продолжительностей работ обладает тремя свойствами:

непрерывностью;

унимодальностью (наличием единственного максимума у кривой распределения);

конечностью и неотрицательностью диапазона возможных зна­чений продолжительности (кривая распределения имеет две точ­ки пересечения с осью ОХ, абсциссы которых неотрицательны).

Исходными данными для расчетов служат экспертные оценки продолжи­тельностей работ:

оптимистическая оценка , т.е. оценка продолжительности ра­боты i—j при благоприятных условиях;

пессимистическая оценка £ , т.е. оценка продолжительности ра­боты г—/' при неблагоприятных условиях;

наиболее вероятная оценка f™ , т.е. оценка продолжительности работы i—j при нормальных условиях.

Средняя продолжительность t^j и дисперсия оценки продолжительности of   каждой отдельной работы определяются по следующим формулам:

 

Є,=(С,+4Є;+?_,): 6; (6.7)

 

б]'. (6.8)

Бывают случаи, когда наиболее вероятное время выполнения работы оце­нить сложно. Поэтому в реальных проектах часто используется упрощен­ная (и, естественно, менее точная) оценка средней продолжительности работы, которая определяется на основе двух задаваемых временных оце­нок — оптимистической и пессимистической:

Є,=(2С,+3^):5. (6.9)

При расчете средней продолжительности работы по формуле (6.9) диспер­сию следует определять по-другому:

<=[(Су-£;):5]2, (6.10)

или

<=0,04(е;-^)2. (6.П)

Средняя продолжительность работы представляет собой наиболее веро­ятную продолжительность работы. Дисперсия является мерой диапазона возможных значений продолжительности, или мерой разброса оценок. Если дисперсия велика, это означает, что и неопределенность продолжи­тельности выполнения работ велика. (Иными словами, различные значе­ния продолжительности имеют почти равную вероятность.) Если диспер­сия мала, это означает, что неопределенность продолжительности выпол­нения работы мала, т.е. время выполнения работы определенно более или менее точно. Работа, не лежащая на критическом пути, но облада­ющая большей дисперсией, чем критическая работа, может превратить­ся в критическую работу и существенно изменить весь сетевой график проекта.

В качестве примера рассмотрим две работы а и Ь, по которым получены экспертные оценки, приведенные в табл. 6.8.

 

Таблица 6.8

Экспертные оценки продолжительности работ

 

Оценка

Работа

 

а

Ь

Оптимистическая

Л

5

Наиболее вероятная

6

5,5

Пессимистическая

8

9

 

 

Используя формулу (6.7), найдем средние продолжительности этих работ:

facp=(4 + 4-6 + 8):6 = 6; С=(5 + 4-5,5 + 9):6 = 6.

Как видим, средние продолжительности этих работ равны, хотя их опти­мистические, наиболее вероятные и пессимистические оценки отличают­ся. Поскольку разница между пессимистической и оптимистической оцен­кой этих работ одинакова, дисперсия их оценки, рассчитываемая по фор­муле (6.8), также будет одинаковой:

а2а= [(8-4): б]2 = 0,44; aj;=[(9-5):6]2=0,44.

Несколько изменим экспертные оценки продолжительностей работ (табл. 6.9).

Средние продолжительности обеих работ останутся без изменения:

f0cp=(4 + 4-6 + 8):6 = 6; С=(5 + 4-6 + 7):6 = 6.

Но изменится дисперсия, так как изменился (уменьшился) диапазон воз­можных значений продолжительности работы Ь:

 

а2а =[(8-4): б]2 = 0,44;

^=[(7-5):б]2=0,11.

Дисперсия работы b в четыре раза меньше дисперсии работы а. Это озна­чает, что вероятность завершения работы Ь в 6 дней в четыре раза выше, чем вероятность завершения в этот же срок работы а.

Вероятностные характеристики продолжительности отдельных работ ис­пользуются для определения параметров всего проекта в целом. Когда средняя продолжительность каждой работы определена, продолжитель­ность (и прочие показатели) проекта рассчитывается с помощью уже изве­стных алгоритмов, только при этом в качестве продолжительности работ используется средняя продолжительность. Значения всех аналитических параметров сетевого графика — длины критического пути, определяюще­го продолжительность всего проекта, и ранних и поздних свершений со­бытий, резервов событий и работ — будут такими же, как если бы мы использовали не среднюю, а обыкновенную продолжительность работ. Но при этом необходимо понимать, что по своей сути все эти парамет­ры будут являться средними значениями соответствующих случайных величин.

Обобщенной вероятностной оценкой продолжительности всего проекта является средняя длима критического пути сетевого графика, которая вычисляется как сумма всех средних продолжительностей работ, лежа­щих на критическом пути:

С = £С (6.12)

Ожидаемая продолжительность выполнения проекта (средняя продолжи­тельность критического пути сетевого графика проекта) может оказаться неприемлемой. Тогда вместо нее выбирается директивная продолжитель­ность 7^р и возникает необходимость оценить вероятность того, что про­ект завершится не позднее директивно установленного срока. Для решения этой задачи необходимо:

определить среднее квадратическое (стандартное) отклонение длины критического пути aiKp (формула (6.13));

рассчитать аргумент функции Лапласа (интеграла вероятностей) Z (формула (6.14));

найти значение функции Лапласа Ф(2) (по таблицам стандартно­го нормального распределения (таблицам значения интеграла вероятностей));

вычислить вероятность соблюдения директивных сроков выпол­нения проекта Р(Гікр<Г2™) (формула (6.15)).

Формулы для определения названных величин:

°1кР = ЛХ; (б-13)

 

2 = {Т^-Т^):в^р, (6.14)

Р(ГЬф<Г^)=1/2+1/2Ф(2), (6.15)

где

Рассчитаем сетевой график, представленный на рис. 6.14, методом PERT,

Критический путь этого сетевого графика (см. рис. 6.14) составляют рабо­ты 0—3, 3—5, 5—6, 6—9, 9—10, 10—11. Допустим, на графике над работа­ми проставлены средние их продолжительности, а дисперсии работ, со­ставляющих критический путь, следующие:

<£.з = 2,5;

°U = 2Д;

0-         5_е = 3,2;

01-       9 = 4,0; CTg_10 = 1,5;

2                      о г

°Ю-П _ J'J-

Оценим вероятность выполнения проекта в срок при Г™ , равном 63 дням.

Найдем среднее квадратическое отклонение длины критического пути:

0-^=^/2,5 + 2,1 + 3,2 + 4,0 + 1,5 + 3,5 =\%/ЇД8 = 4,1.

Рассчитаем значение аргумента функции Лапласа:

Z= (63-61) : 4,1 = 0,49.

Обратившись к таблице значений функции стандартного нормального распределения (можно воспользоваться функцией программы Microsoft Excel НОРМСТРАСЩ)), определим

И наконец, рассчитаем вероятность Р(Г1кр < 63):

Р(Гікр < 63) = 0,5 + 0,5 • 0,69 = 0,8439.

Таким образом, вероятность того, что проект, сетевой график которого представлен на рис. 6.14, с учетом введенных значений дисперсий крити­ческих работ завершится не позднее 63 дней, составляет около 0,8439.

В практике управления проектами возникает необходимость решения и обратной задачи, т.е. определения максимального срока выполнения про­екта с заданной вероятностью (с заданной надежностью). Продолжитель­ность выполнения проекта Г1кр при таких условиях может быть найдена следующим образом:

 

TLKp=T^ + Z&-oLKp, (6.16)

где Zp — аргумент функции Лапласа, соответствующий значению функции, рав­ному (3, т.е. Ф(2р) = (3 (определяется по той же таблице стандартного нормального распределения).

Рассчитаем возможный срок выполнения проекта, сетевой график кото­рого представлен на рис. 6.14, с заданной надежностью р- = 0,95.

Найдем аргумент функции Лапласа, соответствующий значению 0,95 (мож­но воспользоваться таблицей стандартного нормального распределения или же формулой НОРМСТОБР() в программе Microsoft Excel). Он равен — 1,6449. По формуле (6.16) определяем:

Тікр = 61 + 1,6449 -4,1 = 68 дней.

При заданной вероятности 0,95 наш проект завершится за 68 календарных дней.

Приведем еще один пример использования сетевой модели с вероятност­ными оценками продолжительностей работ.

Рассмотрим сетевой график на рис. 6.15.

•График содержит 30 событий и 40 работ. Над стрелками указаны оптими­стическая, наиболее вероятная и пессимистическая оценки продолжитель­ностей работ. Рассчитаем среднюю продолжительность и дисперсию ра­бот сетевого графика, используя формулы (6.7) и (6.8). Результаты внесем в табл. 6.10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя средние значения продолжительности работ, рассчитаем ран­ние и поздние свершения событий дробным методом, как это показано на рис. 6.16.

Для рассматриваемых событий самыми длинными путями являются (рис. 6.17):

для события 23 путь 1—4—5—14—17—20—23;

для события 25 путь 1—4—5—14—17—20—24—25;

для события 30 путь 1—4—5—14—17—20—24—25—27—28—29—30.

Рассчитаем продолжительности этих путей. Это можно сделать двумя спо­собами: суммируя продолжительности работ или взяв с графика ранние свершения конечных событий:

7;?4_5-,4-і7-2о-2з = 4,00+3,50+ 7,33ь 4,67+ 7,171- 4,83= 31,5(

11-4-5-14-17-20-24-25 JOr"'*.

Тср      = 56 02

J1-4-5-14-17-20-24-25-27-28-29-ЗО      OU, О .

Затем найдем среднее квадратическое отклонение длины пути, используя формулу (6.13):

аі(Ь23) = '0,11+0,69+1,78+1,00+3,36 +1,36 =          = 2,88;

 

ст     , = ^/0,11+ 0,69+ 1,78+1,00+3,36+1,36+1,78 = ,/10,06 = 3,18;

о1(1„30) = ^0,11+0,69+1,78+1,00 +3,36 +1,36 +1,78 +1,00 +2,25 +0,69 + 0,69 = = ,/14,71 = 3,83.

 

Далее определим значения аргумента функции Лапласа по формуле (6.14):

 

 

-23)

= (40

- 31,50)

2,88

= 2,95;

 

-25)

= (30

- 35,84)

3,17

= -1,84;

 

-30)

= (50

- 56,02)

3,83

= -1,57.

Обращаясь к таблице стандартного нормального распределения, найдем вероятность реализации рассматриваемых событий в требуемые сроки:

Р(ГЫ1_23| < 40) = 0,5 + 0,5 • 0,9984 = 0,99;

Р{ТШ_25] < 30) = 0,5 + 0,5 • 0,0328 = 0,52;

Р{ТЦ1_Ж] < 50) = 0,5 + 0,5 • 0,0582 = 0,53.

По результатам расчетов можно сделать вывод, что вероятность соблюде­ния плановых сроков наступления события 23 очень высока, в отличие от вероятности соблюдения плановых сроков событий 25 и 30. Необходи­мо оптимизировать сетевой график для того, чтобы повысить вероятность соблюдения плановых сроков совершения событий 25 и 30.

 


Оцените книгу: 1 2 3 4 5